қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2010 год
Задача №1. На доске написано уравнение вида ${{x}^{2}}+px+q=0$ с целыми ненулевыми коэффициентами $p$ и $q$. Временами к доске подходили разные школьники, стирали уравнение, после чего составляли и записывали уравнение такого же вида, корнями которого являются коэффициенты стертого уравнения. В какой-то момент составленное уравнение совпало с тем, что было написано на доске изначально. Какое уравнение изначально было написано на доске?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Функция $f$ определена на промежутке $[0;1)$ по следующему правилу: \[f(x) = \left\{ \begin{gathered}
x + \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2},{\text{при }}x \in [0;\sqrt 2 /2), \\
x - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},{\text{ при }}x \in [\sqrt 2 /2;1). \\
\end{gathered} \right.\]
Докажите, что для любого интервала $\left( a;b \right)\subset [0;1)$ найдутся точка $x$ из этого интервала и такое натуральное $n$, что точка $f(f\left( f\left( \ldots f\left( x \right) \right)\ldots \right)$ ($n$ пар скобок) находится в интервале $\left( a;b \right)$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. На сторонах $BC$ и $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ выбраны точки ${{A}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$. Отрезки $A{{A}_{1}}$ и $C{{C}_{1}}$ пересекаются в точке $K$. Описанные окружности треугольников $A{{A}_{1}}B$ и $C{{C}_{1}}B$ пересекаются в точке $P$. Оказалось, что точка $P$ — центр вписанной окружности треугольника $AKC$. Докажите, что $P$ — ортоцентр треугольника $ABC$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. В правильном 25-угольнике проведены все диагонали. Докажите, что нет девяти диагоналей, проходящих через одну внутреннюю точку 25-угольника.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Разобьём все натуральные числа на группы так, чтобы в первой группе было одно число, во второй — два, в третьей — три и т.д. Можно ли это сделать таким образом, чтобы из суммы чисел в каждой группе нацело извлекался корень 2010-ой степени?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Имеется $4n$ положительных чисел, таких, что из любых четырех попарно различных можно составить геометрическую прогрессию. Докажите, что среди этих чисел найдется $n$ одинаковых.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Докажите, что для любых положительных $a,b,c$ и $d$ верно неравенство $\dfrac{\left( ab+cd \right)\left( ad+bc \right)}{\left( a+c \right)\left( b+d \right)}\ge \sqrt{abcd}$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №8. У куба отмечены вершины и центры граней, а также проведены диагонали всех граней. Можно ли по отрезкам этих диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно один раз?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №9. Решите в натуральных числах уравнение ${( 1+{{n}^{k}})^{l}}=1+{{n}^{m}}$, где $l > 1$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №10. Боря задумал целое число, большее чем 100. Кира называет целое число, большее чем 1. Если Борино число делится на это число, Кира выиграла, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет следующее число. Ей запрещается повторять числа, названные ранее. Если Борино число станет отрицательным — Кира проигрывает. Есть ли у нее выигрышная стратегия?
комментарий/решение
комментарий/решение