Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2010 год

Задача №1. На доске написано уравнение вида

${{x}^{2}}+px+q=0$ с целыми ненулевыми коэффициентами

$p$ и

$q$ . Временами к доске подходили разные школьники, стирали уравнение, после чего составляли и записывали уравнение такого же вида, корнями которого являются коэффициенты стертого уравнения. В какой-то момент составленное уравнение совпало с тем, что было написано на доске изначально. Какое уравнение изначально было написано на доске?
комментарий/решение

Задача №2. Функция

$f$ определена на промежутке

$[0;1)$ по следующему правилу:

$f(x) = \left\{ \begin{gathered} x + \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2},{\text{при }}x \in [0;\sqrt 2 /2), \\ x - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},{\text{ при }}x \in [\sqrt 2 /2;1). \\ \end{gathered} \right.$ Докажите, что для любого интервала

$\left( a;b \right)\subset [0;1)$ найдутся точка

$x$ из этого интервала и такое натуральное

$n$ , что точка

$f(f\left( f\left( \ldots f\left( x \right) \right)\ldots \right)$ (

$n$ пар скобок) находится в интервале

$\left( a;b \right)$ .
комментарий/решение

Задача №3. На сторонах

$BC$ и

$AB$ остроугольного треугольника

$ABC$ выбраны точки

${{A}_{1}}$ и

${{C}_{1}}$ . Отрезки

$A{{A}_{1}}$ и

$C{{C}_{1}}$ пересекаются в точке

$K$ . Описанные окружности треугольников

$A{{A}_{1}}B$ и

$C{{C}_{1}}B$ пересекаются в точке

$P$ . Оказалось, что точка

$P$ — центр вписанной окружности треугольника

$AKC$ . Докажите, что

$P$ — ортоцентр треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение

Задача №4. В правильном 25-угольнике проведены все диагонали. Докажите, что нет девяти диагоналей, проходящих через одну внутреннюю точку 25-угольника.
комментарий/решение

Задача №5. Разобьём все натуральные числа на группы так, чтобы в первой группе было одно число, во второй — два, в третьей — три и т.д. Можно ли это сделать таким образом, чтобы из суммы чисел в каждой группе нацело извлекался корень 2010-ой степени?
комментарий/решение

Задача №6. Имеется

$4n$ положительных чисел, таких, что из любых четырех попарно различных можно составить геометрическую прогрессию. Докажите, что среди этих чисел найдется

$n$ одинаковых.
комментарий/решение

Задача №7. Докажите, что для любых положительных

$a,b,c$ и

$d$ верно неравенство

$\dfrac{\left( ab+cd \right)\left( ad+bc \right)}{\left( a+c \right)\left( b+d \right)}\ge \sqrt{abcd}$ .
комментарий/решение(3)

Задача №8. У куба отмечены вершины и центры граней, а также проведены диагонали всех граней. Можно ли по отрезкам этих диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно один раз?
комментарий/решение

Задача №9. Решите в натуральных числах уравнение

${( 1+{{n}^{k}})^{l}}=1+{{n}^{m}}$ , где

$l > 1$ .
комментарий/решение

Задача №10. Боря задумал целое число, большее чем 100. Кира называет целое число, большее чем 1. Если Борино число делится на это число, Кира выиграла, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет следующее число. Ей запрещается повторять числа, названные ранее. Если Борино число станет отрицательным — Кира проигрывает. Есть ли у нее выигрышная стратегия?
комментарий/решение