Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2010 жыл

Есеп №1. Тақтада коэффициенттері нөлге тең емес бүтін $p$ және $q$ болатын ${{x}^{2}}+px+q=0$ теңдеуі жазылған. Тақтаға кезекпен әртүрлі оқушылар келіп теңдеуді өшіріп, оның орнына түбірлері өшірілген теңдеудің коэффициенттері болатын теңдеу құрып жазып отырды. Қандай да бір уақытта құрылған теңдеу ең алғаш тақтада жазылған теңдеумен сәйкес келді. Бастапқыда тақтада қандай теңдеу жазылған?
комментарий/решение

---

Есеп №2.  $f$ функциясы $[0;1)$ аралығында келесі шарттармен анықталған: $$f(x) = \left\{ \begin{gathered} x + \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2},{\text{\ егер }}x \in [0;\sqrt 2 /2), \hfill \\ x - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},{\text{ егер }}x \in [\sqrt 2 /2;1). \hfill \\ \end{gathered} \right.$$
Кез келген $\left( a;b \right)\subset [0;1)$ интервалынан $f(f\left( f\left( \ldots f\left( x \right) \right)\ldots \right)$ ($n$ рет) нүктесі $\left( a;b \right)$ интервалында жататындай $x$ нүктесі мен натурал $n$ саны табылатынын дәлелдендер.
комментарий/решение

---

Есеп №3. Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышының $BC$ және $AB$ қабырғаларынан ${{A}_{1}}$ және ${{C}_{1}}$ нүктелері алынған. $A{{A}_{1}}$ және $C{{C}_{1}}$ кесінділері $K$ нүктесінде қиылысады. $AA_1B$ және $CC_1B$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $P$ нүктесінде қиылысады. Сонда $AKC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі $P$ нүктесі болып шықты. $P$ нүктесі $ABC$ үшбұрышының ортоцентрі екенін дәлеледеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №4. Дұрыс 25-бұрыштың барлық диагональдары жүргізілген. 25-бұрыштың тоғыз диагоналі ішкі бір нүктеде қиылыспайтынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №5. Барлық натурал сандарды бірінші топта бір сан, екінші топта екі сан, үшінші топта үш сан және т.с.с топтарға бөлейік. Сонда әрбір топтағы сандардың қосындысынан 2010 дәрежелі түбірден бүтін сан шығатындай етіп жасауға бола ма?
комментарий/решение

---

Есеп №6. Кез келген өзара әртүрлі төртеуінен геометриялық прогрессия құрауға болатын $4n$ оң сандар берілген. Берілген сандардың ішінде $n$ бірдей сан табылатынын дәлелдендер.
комментарий/решение

---

Есеп №7.  Оң $a,b,c$ және $d$ сандары үшін $\dfrac{\left( ab+cd \right)\left( ad+bc \right)}{\left( a+c \right)\left( b+d \right)}\ge \sqrt{abcd}$ теңсіздігін дәлелдендер.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №8. Кубтың төбелері мен жақтарының центрлері белгіленген және барлық жақтарының диагональдары жүргізілген. Осы диагональдардың кесінділері бойынша белгіленген нүктелерде бір реттен қана болып барлығын жүріп шығуға бола ма?
комментарий/решение

---

Есеп №9. Натурал сандарда теңдеуді шешіңдер ${( 1+{{n}^{k}})^{l}}=1+{{n}^{m}}$, мұндағы $l > 1$.
комментарий/решение

---

Есеп №10. Боря 100-ден үлкен бүтін санды жасырды. Кира 1-ден үлкен бүтін сан атайды. Егер Боряның саны сол санға бөлінсе, онда Кира ұтады, әйтпесе Боря өз санынан аталған санды алып тастайды және Кира келесі санды атайды. Оған алдында аталған сандарды қайталауға болмайды. Егер Боряның саны теріс болса, онда Кира жеңіледі. Кирада жеңіске жететін стратегия бар ма?
комментарий/решение

---