Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2010 год

Докажите, что для любых положительных $a,b,c$ и $d$ верно неравенство $\dfrac{\left( ab+cd \right)\left( ad+bc \right)}{\left( a+c \right)\left( b+d \right)}\ge \sqrt{abcd}$.

Комментарий/решение

$ab+cd=x, ad+bc=y, \ \sqrt{abcd}=z$ и так как $x \geq 2z, \ y \geq 2z$ или $x+y \geq 4z$ неравенство ​$\dfrac{xy}{x+y} \geq z$ откуда $xy \geq z(x+y) \geq z \cdot 4z = 4z^2$ или $xy \geq 2z \cdot 2z = 4z^2$

Так же с этого неравенство следует неравенство $(x^2+y^2)(x^2y^2+z^4) \geq 2x^2yz(y^2+z^2)$ для $x,y,z>0$ если заменить $ab=x, \ cd=y, \ ad=z, \ bc=t$ и преобразовать

Возведем обе части в квадрат:

$((ab + cd)(ad + bc) / (a+c)(b+d)) ^ 2 \ge abcd$ - Докажем его

По КБШ $(ab + cd)(ad + cb) \ge (a\sqrt{bd} + c\sqrt{bd})^2 = bd(a+c)^2$

Аналогично $(ba + dc)(bc + da) \ge (b\sqrt{ac} + d\sqrt{ac})^2 = ac(b+d)^2$

Следовательно$LHS\ge ( bd(a+c)^2)( ac(b+d)^2) / ((a+c)(b+d))^2 = abcd$ - Доказано

Тупо am gm