Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2010 год

На сторонах $BC$ и $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ выбраны точки ${{A}_{1}}$ и ${{C}_{1}}$. Отрезки $A{{A}_{1}}$ и $C{{C}_{1}}$ пересекаются в точке $K$. Описанные окружности треугольников $A{{A}_{1}}B$ и $C{{C}_{1}}B$ пересекаются в точке $P$. Оказалось, что точка $P$ — центр вписанной окружности треугольника $AKC$. Докажите, что $P$ — ортоцентр треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Заметим, что поскольку $P$ --- инцентр $\triangle AKC$, то верно, что $\angle KAP=\angle PAC$ и $\angle KCP=\angle PCA$.

Из вписанного четырехугольника $BCPC_1$, получим, что $\angle PCA=\angle KCP=\angle PCC_1=\angle C_1BP=\angle ABP$, аналогично, из вписанного четырехугольника $BAP_1A$, получим, что $\angle CAP=\angle KAP=\angle PAA_1=\angle PBA_1=\angle CBP$.

Таким образом, мы имеем, что $\angle PCA=\angle ABP$ и $\angle CAP=\angle CBP$. Продлим $BP$ и $CP$ до пересечения с $AC$ и $BA$ в точках $X$ и $Y$ соответственно, тогда четырехугольник $BCXY$ --- вписанный, отсюда верно, что $\angle BYC=\angle BXC$ и $\angle PAX=\angle XBC=\angle XYC$. Из последнего равенства следует, что $AXPY$ --- тоже вписанный, значит $\angle PXC=\angle PYC=\angle PXA$, при этом $\angle PXC+\angle PXA=180^{\circ}$, так как точки $A,X$ и $C$ лежат на одной прямой. По итогу, получаем, что $2\angle PXC=180^{\circ}$, отсюда $\angle PXC=90^{\circ}$. Остальные прямые углы доказываются аналогичным образом.