Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2010 жыл

Есеп №1. Сыныпта екісіз оқитындар саны $95,5\%$-дан көп және $96,5\%$-дан аз. Осы шарт сыныптағы оқушылар саны қандай ең аз болғанда орындалуы мүмкін?
комментарий/решение

---

Есеп №2. $a$ жай саны үшін ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-33{{c}^{2}}=8bc$ орындалатындай барлық $\left( a,b,c \right)$ натурал сандардың үштігін табыңдар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Мың нүкте дөңес мыңбұрыштың төбелері болып келеді. Оның ішінде 506 нүкте орналасқан. Осы 1506 нүктелердің кез келген үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайды. Көпбұрыш төбелері берілген 1506 нүктеде болатын үшбұрыштарға қиылған. Сонда қанша үшбұрыш пайда болды?
комментарий/решение

---

Есеп №4. $ABCD$ шаршысының $AB$, $BC$, $CD$ және $DA$ қабырғаларында сәйкесінше ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ және ${{D}_{1}}$ нүктелерін белгілейік. Егер ${{A}_{1}}{{C}_{1}}$ және ${{B}_{1}}{{D}_{1}}$ кесінділері өзара перпендикуляр болса, онда $A{{A}_{1}}+C{{C}_{1}}=B{{B}_{1}}+D{{D}_{1}}$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №5. $3\times 3$ шаршысын қабырғасы 1 болатын 9 торкөзге бөлінген. Олардың қандай да бір бесеуі ақ түске, ал қалғаны қара түске боялған. Шаршының екі ақ торкөзі және екі қара торкөзі сызылмай қалатындай етіп бір жолды және бір бағананы сызып тастауға болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №6. Бірнеше трактор 300 га жерді бүтін сан күнде жыртады. Әр трактор бір күнде 15 га жерді жыртатын болса, онда жұмысты 6 күн ерте бітіру үшін қанша трактор керек?
комментарий/решение

---

Есеп №7. а) $m!=n!\cdot k!$ теңдігі орындалатындай әртүрлі натурал $m,n,k$ үштігін көрсетіңдер ($p!$ дегеніміз 1 ден $p$-ға дейінгі натурал сандардың көбейтіндісі, мысалы, $4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4$).
б) осындай 2010 үштіктер табуға бола ма?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №8. $a > 0$, $b > 0$ сандары үшін $\dfrac{{{a}^{4}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}}{3}\ge \dfrac{{{a}^{3}}b+a{{b}^{3}}}{2}$ теңсіздігін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №9. Екі ойыншы тақтаға кезектесіп 1-ден 1000-ға дейінгі натурал сандарды жазады. Бірінші жүріс бірінші ойыншыда, ол тақтаға 1 санын жазады. Келесі жүрісте, егер тақтада а саны жазылса, онда тақтаға не $2a$, не $\left( a+1 \right)$ санын жазуға болады және тақтаға осыған дейін жазылған сандарды қайта жазуға болмайды. Кімде кім тақтаға 1000 санын жазса сол жеңеді. Дұрыс ойында кім жеңіске жетеді?
комментарий/решение

---

Есеп №10. $ABC$ үшбұрышының $A$ төбесінен $BC$ қабырғасына жүргізілген медиана $AB$ қабырғасынан төрт есе кіші және қабырғамен $60{}^\circ $ бұрыш жасайды. Үшбұрыштың үлкен бұрышын табыңдар.
комментарий/решение(1)

---