Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2010 год

В треугольнике $ABC$ медиана, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, в четыре раза меньше стороны $AB$ и образует с ней угол в $60{}^\circ $. Найдите наибольший угол данного треугольника.

Комментарий/решение

Пусть $AA_1$- медиана,$AA_1=x;AB=4x $.Применим теорему косинусов для треугольника $ABA_1$ . Получаем $A_1B=x\sqrt 13$. Так как $AA_1$-медиана, то $CA_1=BA_1$. Также воспользуюсь соотношением сторон и медианы. Из него $$2 (AC^2+(4x)^2)=(2x)^2+(2x\sqrt 13)^2$$. Значит $AC=x\sqrt 12$. Применяя теорему косинусов для треугольника $ABC $, получим,что $cos \angle A=-\dfrac {\sqrt 3}{2}$, то есть этот угол равен 150 градусов.