Қалалық Жәутіков олимпиадасы 8 сынып, 2010 жыл

$ABC$ үшбұрышының $A$ төбесінен $BC$ қабырғасына жүргізілген медиана $AB$ қабырғасынан төрт есе кіші және қабырғамен $60{}^\circ$ бұрыш жасайды. Үшбұрыштың үлкен бұрышын табыңдар.

Комментарий/решение

Пусть $AA_1$- медиана,$AA_1=x;AB=4x$.Применим теорему косинусов для треугольника $ABA_1$ . Получаем $A_1B=x\sqrt 13$. Так как $AA_1$-медиана, то $CA_1=BA_1$. Также воспользуюсь соотношением сторон и медианы. Из него $$2 (AC^2+(4x)^2)=(2x)^2+(2x\sqrt 13)^2$$ . Значит $AC=x\sqrt 12$. Применяя теорему косинусов для треугольника $ABC$, получим,что $cos \angle A=-\dfrac {\sqrt 3}{2}$, то есть этот угол равен 150 градусов.