Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2010 год

Задача №1. В классе не менее $95,\!5\%$ и не более $96,\!5\%$ учатся без двоек. При каком наименьшем количестве учеников это возможно?
комментарий/решение

Задача №2. Найдите все такие тройки $\left( a,b,c \right)$ натуральных чисел, что ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-33{{c}^{2}}=8bc$ и $a$ — простое число.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Тысяча точек являются вершинами выпуклого тысячеугольника, внутри которого расположено 506 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезают на треугольники, вершинами которого являются данные 1506 точек. Сколько получится треугольников?
комментарий/решение

Задача №4. На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ квадрата $ABCD$ отмечены точки ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ и ${{D}_{1}}$ соответственно. Докажите, что если отрезки ${{A}_{1}}{{C}_{1}}$ и ${{B}_{1}}{{D}_{1}}$ перпендикулярны, то $A{{A}_{1}}+C{{C}_{1}}=B{{B}_{1}}+D{{D}_{1}}$.
комментарий/решение(2)

Задача №5. Квадрат $3\times 3$ разбит на 9 клеток со стороной 1. Какие-то пять из этих клеток окрашены в белый, а остальные — в черный цвет. Докажите, что из квадрата можно вычеркнуть одну строку и один столбец, что не вычеркнутыми окажутся две белые клетки и две черные.
комментарий/решение

Задача №6. Несколько тракторов могут вспахать поле в 300 га за целое число дней. Каждый трактор вспахивает 15 га в день. Сколько потребуется тракторов, чтобы выполнить работу на 6 дней раньше?
комментарий/решение

Задача №7. а) Укажите тройку различных натуральных чисел $m,n,k$ для которых $m!=n!\cdot k!$ (через $p!$ обозначается произведение всех натуральных чисел от 1 до $p$, например, $4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4$).
б) Можно ли придумать 2010 таких троек?
комментарий/решение(1)

Задача №8. Докажите неравенство: $\dfrac{{{a}^{4}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}}{3}\ge \dfrac{{{a}^{3}}b+a{{b}^{3}}}{2}$ ($a > 0$, $b > 0$).
комментарий/решение(2)

Задача №9. Двое по очереди выписывают на доске натуральное число от 1 до 1000. Первым ходом первый игрок выписывает на доску число 1. Затем очередным ходом на доску можно выписать либо число $2a$, либо число $\left( a+1 \right)$, если на доске уже написано число $a$. При этом запрещается выписывать числа, которые уже написаны на доске. Выигрывает тот, кто выпишет на доску число 1000. Кто выиграет при правильной игре?
комментарий/решение

Задача №10. В треугольнике $ABC$ медиана, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, в четыре раза меньше стороны $AB$ и образует с ней угол в $60{}^\circ $. Найдите наибольший угол данного треугольника.
комментарий/решение(1)