Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2010 год

Найдите все такие тройки $\left( a,b,c \right)$ натуральных чисел, что ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-33{{c}^{2}}=8bc$ и $a$ — простое число.

Комментарий/решение

$a²+b²-33c²=8bc$

$a²+b²+16c²-8bc=49c²$

$a²=(7c)²-(4c-b)²$

$a²=(11c-b)(3c+b)$

И тут есть два варианта:

1)$11c-b=3c+b=a²$

$11c=3c+2b$

$8c=2b$

$4c=b$

Заменим $b$.

$a²-17c²=32c²$

$a²=49c²$

$a=7c$

$a=7$,$c=1$,$b=4$.

2)один из них $1$,другой $a²$.Заметим что $3c+b>1$,тогда $3c+b=a²$,$11c-b=1$.Суммируем два равенства.$14c=a²+1$.$a²\equiv 13\ mod {14}.Противоречие.Значит единственный ответ$a=7$,$b=4$,c=1$.