Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2010 жыл
a жай саны үшін a2+b2−33c2=8bc орындалатындай барлық (a,b,c) натурал сандардың үштігін табыңдар.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
a²+b²-33c²=8bc
a²+b²+16c²-8bc=49c²
a²=(7c)²-(4c-b)²
a²=(11c-b)(3c+b)
И тут есть два варианта:
1)11c-b=3c+b=a²
11c=3c+2b
8c=2b
4c=b
Заменим b.
a²-17c²=32c²
a²=49c²
a=7c
a=7,c=1,b=4.
2)один из них 1,другой a².Заметим что 3c+b>1,тогда 3c+b=a²,11c-b=1.Суммируем два равенства.14c=a²+1.a²\equiv 13\ mod {14}.Противоречие.Значит единственный ответ a=7,b=4,c=1.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.