Processing math: 11%

Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2010 жыл


a жай саны үшін a2+b233c2=8bc орындалатындай барлық (a,b,c) натурал сандардың үштігін табыңдар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   4
1 года 10 месяца назад #

a²+b²-33c²=8bc

a²+b²+16c²-8bc=49c²

a²=(7c)²-(4c-b)²

a²=(11c-b)(3c+b)

И тут есть два варианта:

1)11c-b=3c+b=a²

11c=3c+2b

8c=2b

4c=b

Заменим b.

a²-17c²=32c²

a²=49c²

a=7c

a=7,c=1,b=4.

2)один из них 1,другой .Заметим что 3c+b>1,тогда 3c+b=a²,11c-b=1.Суммируем два равенства.14c=a²+1.a²\equiv 13\ mod {14}.Противоречие.Значит единственный ответ a=7,b=4,c=1.