Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2010 год

Докажите неравенство: $\dfrac{{{a}^{4}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}}{3}\ge \dfrac{{{a}^{3}}b+a{{b}^{3}}}{2}$ ($a > 0$, $b > 0$).

Комментарий/решение

$$\frac{a^4+a^2b^2+b^4}{3}\geq \frac{a^3b+b^3a}{2}$$

$$2( (a^2+b^2)^2-a^2b^2) \geq 3ab(a^2+b^2) \Rightarrow$$

$$2(a^2+b^2)^2 - 3ab(a^2+b^2) -2a^2b^2 \geq 0$$

$$2\left\{ \frac{a^2+b^2}{ab} \right\}^2-3\left\{ \frac{a^2+b^2}{ab} \right\}-2\geq 0$$

$$\left(\frac{a^2+b^2}{ab} +\frac{1}{2} \right) \left( \frac{a^2+b^2}{ab} -2 \right) \geq 0$$

$$\left(\frac{a^2+b^2}{ab} +\frac{1}{2} \right) \left( \frac{(a-b)^2}{ab} \right) \geq 0$$

$2a^4+2a^2b^2+2b^4 \geq 3a^3b+3ab^3$

$AM \geq GM$

$a^4+a^2b^2 \geq 2a^3b$

$b^4+a^2b^2 \geq 2b^3a$

и $a^4+b^4 \geq a^3b+b^3a$ так как $(a-b)^2(a^2+ab+b^2) \geq 0$

суммируя получаем требуемое.