Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2008 год

Задача №1. Можно ли в клетки таблицы

$n\times n$ вписать целые числа так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате

$3\times 3$ была отрицательной, а сумма всех чисел в таблице

$n\times n$ была положительной, если а)

$n=8$ ; б)

Задача №2. Решите уравнение:

$\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)\left( 1+x+\ldots +{{x}^{10}} \right)={{\left( 1+x+\ldots +{{x}^{6}} \right)}^{2}}.$
комментарий/решение(2)

Задача №3. Докажите, что если для любых положительных чисел

$a,~b,~c$ выполняется

$abc=1$ , то верно неравенство

$\dfrac{1}{a(a+1)}+\dfrac{1}{b(b+1)}+\dfrac{1}{c(c+1)}\ge \dfrac{3}{2}.$
комментарий/решение(2)

Задача №4. На окружности, вписанной в равносторонний треугольник

$ABC$ , взята точка

$P$ . Отрезок

$AP$ еще раз пересекает окружность в точке

$Q$ так, что

$AQ = QP$ . Найдите угол

$BPC$ .
комментарий/решение(2)

Задача №5. Решите уравнение:

$\max \left( x;2-x \right)=\min \left( 3x;1+2x \right)$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки 3 см и 5 см. В каких границах меняется периметр треугольника?
комментарий/решение(1)

Задача №7. Сколько различных значений можно получить расставляя всеми возможными способами скобки в выражении 2 : 3 : 5 : 7 : 11 : 13 : 17 : 19 : 23 : 29?
комментарий/решение

Задача №8. На стороне

$BC$ треугольника

$ABC$ отмечена точка

$K$ , так, что

$\dfrac{BK}{KC}\le 1$ . Точка

$M$ — середина стороны

$AC$ , а

$N$ — такая точка на прямой

$AC$ , что

$BN \parallel KM$ . Докажите, что отрезок

$KN$ делит треугольник

$ABC$ на две равновеликие фигуры.
комментарий/решение(1)