Қалалық Жәутіков олимпиадасы 9 сынып, 2008 жыл

$ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасынан $\dfrac{BK}{KC}\le 1$ болатындай $K$ нүктесі белгіленген. $M$ нүктесі — $AC$ қабырғасының ортасы, ал $N$ нүктесі — $AC$ түзуінің бойынан $BN\parallel KM$ болатындай етіп алынған. $KN$ кесіндісі $ABC$ үшбұрышын тең шамалы екі фигураға бөлетінін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Из подобия $CKN, \ ABC$ получается $\dfrac{CM}{CN} = \dfrac{CK}{BC}$ но $\dfrac{CM}{CN} = \dfrac{AC}{2CN}$ откуда $2CN \cdot CK = BC \cdot AC$ откуда $2CN \cdot CK \cdot \sin \angle ACB = BC \cdot AC \cdot \sin \angle ACB$ то есть $S_{ACB} = 2S_{CNK}$ то есть $S_{ABKN} = S_{CNK}$