Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2008 год

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$, так, что $\dfrac{BK}{KC}\le 1$. Точка $M$ — середина стороны $AC$, а $N$ — такая точка на прямой $AC$, что $BN \parallel KM$. Докажите, что отрезок $KN$ делит треугольник $ABC$ на две равновеликие фигуры.

Комментарий/решение

Из подобия $CKN, \ ABC$ получается $\dfrac{CM}{CN} = \dfrac{CK}{BC}$ но $\dfrac{CM}{CN} = \dfrac{AC}{2CN}$ откуда $2CN \cdot CK = BC \cdot AC$ откуда $2CN \cdot CK \cdot \sin \angle ACB = BC \cdot AC \cdot \sin \angle ACB$ то есть $S_{ACB} = 2S_{CNK}$ то есть $S_{ABKN} = S_{CNK}$