қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2008 год
Задача №1. Можно ли в клетки таблицы $n\times n$ вписать целые числа так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате $3\times 3$ была отрицательной, а сумма всех чисел в таблице $n\times n$ была положительной, если а) $n=8$; б) $n=9$?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Решите уравнение: $\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)\left( 1+x+\ldots +{{x}^{10}} \right)={{\left( 1+x+\ldots +{{x}^{6}} \right)}^{2}}.$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Докажите, что если для любых положительных чисел $a,~b,~c$ выполняется $abc=1$, то верно неравенство $\dfrac{1}{a(a+1)}+\dfrac{1}{b(b+1)}+\dfrac{1}{c(c+1)}\ge \dfrac{3}{2}.$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. На окружности, вписанной в равносторонний треугольник $ABC$, взята точка $P$. Отрезок $AP$ еще раз пересекает окружность в точке $Q$ так, что $AQ = QP$. Найдите угол $BPC$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Решите уравнение: $\max \left( x;2-x \right)=\min \left( 3x;1+2x \right)$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки 3 см и 5 см. В каких границах меняется периметр треугольника?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Сколько различных значений можно получить расставляя всеми возможными способами скобки в выражении 2 : 3 : 5 : 7 : 11 : 13 : 17 : 19 : 23 : 29?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$, так, что $\dfrac{BK}{KC}\le 1$. Точка $M$ — середина стороны $AC$, а $N$ — такая точка на прямой $AC$, что $BN \parallel KM$. Докажите, что отрезок $KN$ делит треугольник $ABC$ на две равновеликие фигуры.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)