Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2008 жыл


Үшбұрыштың биссектрисасы оның бір қабырғасын 3 см және 5 см-ге тең кесінділерге бөледі. Үшбұрыштың периметрі қандай аралықтарда өзгереді?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
3 года 8 месяца назад #

Ответ : PΔABC(16;40)

Решение

1) Теорема: Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

2) Из теоремы (1) имеем

x3=y5

3) Неравенства треугольника:

x+y>8;x+8>y;y+8>x

4) Пусть x=3+ε, тогда y=5(3+ε)3=5+ε3

Устремляя эпсилон к нулю , рассчитаем периметр

limε0PΔABC=3+ε+5+ε3+8=16+43ε=16

Понятно, что предельный случай не может быть реализован, так как вершина B будет лежать на стороне AC. То есть, 16 - минимум периметра рассматриваемого треугольника

5) Максимума периметра можно достигнуть, если устремить x+8y

x+8=yx+8=5x323x=8x=12

Откуда y=5312=20

Периметр равен PΔABC=12+20+8=40

Этот предельный случай тоже не реализуем, ведь тогда A,B,C лягут на одну прямую