Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2008 жыл
Үшбұрыштың биссектрисасы оның бір қабырғасын 3 см және 5 см-ге тең кесінділерге бөледі. Үшбұрыштың периметрі қандай аралықтарда өзгереді?
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ : PΔABC∈(16;40)
Решение
1) Теорема: Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
2) Из теоремы (1) имеем
x3=y5
3) Неравенства треугольника:
x+y>8;x+8>y;y+8>x
4) Пусть x=3+ε, тогда y=5⋅(3+ε)3=5+ε3
Устремляя эпсилон к нулю , рассчитаем периметр
limε→0PΔABC=3+ε+5+ε3+8=16+43⋅ε=16
Понятно, что предельный случай не может быть реализован, так как вершина B будет лежать на стороне AC. То есть, 16 - минимум периметра рассматриваемого треугольника
5) Максимума периметра можно достигнуть, если устремить x+8→y
x+8=y→x+8=5x3→23⋅x=8→x=12
Откуда y=53⋅12=20
Периметр равен PΔABC=12+20+8=40
Этот предельный случай тоже не реализуем, ведь тогда A,B,C лягут на одну прямую
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.