Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2008 жыл

Есеп №1. $n\times n$ таблицасының торларына әрбір $3\times 3$ шаршысындағы сандардың қосындысы теріс, ал $n\times n$ таблицадағы барлық сандардың қосындысы оң болатындай етіп бүтін сандарды жазуға бола ма, егер
а) $n=8$;
б) $n=9$?
комментарий/решение

---

Есеп №2. Теңдеуді шешіңдер: $\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)\left( 1+x+\ldots +{{x}^{10}} \right)=( 1+x+\ldots +{{x}^{6}})^{2}.$
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3.  Егер кез-келген оң $a,~b,~c$ сандары үшін $abc=1$ орындалса, онда $\dfrac{1}{a(a+1)}+\dfrac{1}{b(b+1)}+\dfrac{1}{c(c+1)}\ge \dfrac{3}{2}$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. Теңқабырғалы $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің бойынан $P$ нүктесі алынған. $AP$ кесіндісі шеңберді $AQ = QP$ болатындай етіп екінші рет қиып өтеді. $BPC$ бұрышын табыңдар.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №5. Теңдеуді шешіңдер: $\max \left( x;2-x \right)=\min \left( 3x;1+2x \right)$.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. Үшбұрыштың биссектрисасы оның бір қабырғасын 3 см және 5 см-ге тең кесінділерге бөледі. Үшбұрыштың периметрі қандай аралықтарда өзгереді?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №7. Мына 2:3:5:7:11:13:17:19:23:29 өрнекте жақшаларды барлық мүмкін жерлерге қойып өрнектің қанша әртүрлі мәнін алуға болады?
комментарий/решение

---

Есеп №8. $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасынан $\dfrac{BK}{KC}\le 1$ болатындай $K$ нүктесі белгіленген. $M$ нүктесі — $AC$ қабырғасының ортасы, ал $N$ нүктесі — $AC$ түзуінің бойынан $BN\parallel KM$ болатындай етіп алынған. $KN$ кесіндісі $ABC$ үшбұрышын тең шамалы екі фигураға бөлетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---