Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2008 год


На окружности, вписанной в равносторонний треугольник ABC, взята точка P. Отрезок AP еще раз пересекает окружность в точке Q так, что AQ=QP. Найдите угол BPC.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
3 года 8 месяца назад #

Ответ: 120

1) Рассмотрим ΔAOP, где O центр вписанной в ΔABC окружности. Примем rΔABC=r известным.

2) Теорема: В правильном треугольнике центра вписанной и описанной окружностей совпадают

3) Теорема: В правильном треугольнике Медианы, биссектрисы и высоты совпадают

4) Теорема: Медианы пересекаются в одной точке, и пересечением делятся в отношении 2:1

5) AO:OW=2:1 (см пункт (4))

С другой стороны OW=r, значит AO=2r

По рисунку ясно , что PO=QO=r

6) Запишем теорему косинусов для ΔAOQ. Обозначим AQ=x

AQ2+AO22AQAOcosQAO=QO2

x2+(2r)22(2r)xcosQAO=r2

Данное уравнение однородное, решить его можно, сведя к квадратному относительно безразмерного комплекса x/r. Для этого поделим уравнение на r2

(xr)2+44(xr)cosQAO=1

Корни уравнения:

(xr)1,2=2cosQAO±4cos2QAO3

Остается понять смысл двух полученных корней. Первый из них (со знаком минус перед радикалом) - это длина отрезка AQ

Второй же (со знаком + перед радикалом) - это длина отрезка AP

7) По условию AQ=QP2AQ=AP

4cosQAO24cos2QAO3=2cosQAO+4cos2QAO3

2cosQAO=34cos2QAO3

4cos2QAO=9(4cos2QAO3)

32cos2QAO=27cosQAO=2732=368

8) Вычислим координаты точки P в локальной системе координат x1Ay1

Перед этим вычислим AP

APr=2cosQAO+4cos2QAO3=2368+427323=6

AP=6rx1P=APcosQAO;y1P=APsinQAO;

x1P=6r368=9r4

sinQAO=1(368)2=108

y1P=6r108=15r4

9) В этой же локальной системе координат вычислим координаты точек B,C

x1B=x1C=AW=3r

y1B=BW=OB2OW2=4r2r2=r3

y1C=y1B=r3

10) Для нахождения BPC вспомним скалярное произведение

cosBPC=PBPB|PB||PC|

11) PB=(x1Bx1P;y1By1P);PB=(3r9r4;r315r4)

PC=(x1Cx1P;y1Cy1P);PC=(3r9r4;r315r4)

PBPC=(3r9r4)(3r9r4)+(r315r4)(r315r4)=3r22

|PB|=(3r9r4)2+(r315r4)2

|PC|=(3r9r4)2+(r315r4)2

Пропуская кучу выкладок, получаем

|PB||PC|=9r2=3r2

Отсюда cosBPC=PBPB|PB||PC|=3r223r2=0.5

BPC=120

  4
3 года 8 месяца назад #

1) Пусть O центр вписанной окружности, пусть ω окружность с центром O1 описанная около BOC если Kω любая точка на меньшей дуге BC и LAK точка пересечения вписанной окружности с AK.

Лемма: L середина AK.

Доказательство: AC касательная к ω так как O1CB=1801202=30 тогда ACO1=90 пусть F,E середины AC,AB тогда AF=AE касательные и CO=CO1 , рассмотрим гомотетию вписанной окружности относительно точки A с k=2 тогда окружность переходит в ω1 тогда OO1, FC, AB, LK то есть AL=KL

2) По лемме P лежит на ω откуда BPC=BOC=120