Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2008 год
Комментарий/решение:
Ответ: 120∘
1) Рассмотрим ΔAOP, где O− центр вписанной в ΔABC окружности. Примем rΔABC=r известным.
2) Теорема: В правильном треугольнике центра вписанной и описанной окружностей совпадают
3) Теорема: В правильном треугольнике Медианы, биссектрисы и высоты совпадают
4) Теорема: Медианы пересекаются в одной точке, и пересечением делятся в отношении 2:1
5) AO:OW=2:1 (см пункт (4))
С другой стороны OW=r, значит AO=2r
По рисунку ясно , что PO=QO=r
6) Запишем теорему косинусов для ΔAOQ. Обозначим AQ=x
AQ2+AO2−2⋅AQ⋅AO⋅cos∠QAO=QO2
x2+(2r)2−2⋅(2r)⋅x⋅cos∠QAO=r2
Данное уравнение однородное, решить его можно, сведя к квадратному относительно безразмерного комплекса x/r. Для этого поделим уравнение на r2
(xr)2+4−4⋅(xr)⋅cos∠QAO=1
Корни уравнения:
(xr)1,2=2cos∠QAO±√4cos2∠QAO−3
Остается понять смысл двух полученных корней. Первый из них (со знаком минус перед радикалом) - это длина отрезка AQ
Второй же (со знаком + перед радикалом) - это длина отрезка AP
7) По условию AQ=QP→2AQ=AP
4cos∠QAO−2√4cos2∠QAO−3=2cos∠QAO+√4cos2∠QAO−3
2cos∠QAO=3√4cos2∠QAO−3
4cos2∠QAO=9(4cos2∠QAO−3)
32cos2∠QAO=27→cos∠QAO=√2732=3√68
8) Вычислим координаты точки P в локальной системе координат x1Ay1
Перед этим вычислим AP
APr=2cos∠QAO+√4cos2∠QAO−3=2⋅3√68+√4⋅2732−3=√6
AP=√6⋅r→x1P=AP⋅cos∠QAO;y1P=AP⋅sin∠QAO;
x1P=√6⋅r⋅3√68=9⋅r4
sin∠QAO=√1−(3√68)2=√108
y1P=√6⋅r⋅√108=√15⋅r4
9) В этой же локальной системе координат вычислим координаты точек B,C
x1B=x1C=AW=3r
y1B=BW=√OB2−OW2=√4r2−r2=r√3
y1C=−y1B−=−r√3
10) Для нахождения ∠BPC вспомним скалярное произведение
cos∠BPC=→PB⋅→PB|PB|⋅|PC|
11) →PB=(x1B−x1P;y1B−y1P);→PB=(3r−9r4;r√3−√15⋅r4)
→PC=(x1C−x1P;y1C−y1P);→PC=(3r−9r4;−r√3−√15⋅r4)
→PB⋅→PC=(3r−9r4)⋅(3r−9r4)+(r√3−√15⋅r4)⋅(−r√3−√15⋅r4)=−3r22
|PB|=√(3r−9r4)2+(r√3−√15⋅r4)2
|PC|=√(3r−9r4)2+(−r√3−√15⋅r4)2
Пропуская кучу выкладок, получаем
|PB|⋅|PC|=√9⋅r2=3r2
Отсюда cos∠BPC=→PB⋅→PB|PB|⋅|PC|=−3r223r2=−0.5
∠BPC=120∘
1) Пусть O центр вписанной окружности, пусть ω окружность с центром O1 описанная около BOC если K∈ω любая точка на меньшей дуге BC и L∈AK точка пересечения вписанной окружности с AK.
Лемма: L середина AK.
Доказательство: AC касательная к ω так как ∠O1CB=180∘−120∘2=30∘ тогда ∠ACO1=90∘ пусть F,E середины AC,AB тогда AF=AE касательные и CO=CO1 , рассмотрим гомотетию вписанной окружности относительно точки A с k=2 тогда окружность переходит в ω1 тогда O→O1, F→C, A→B, L→K то есть AL=KL
2) По лемме P лежит на ω откуда ∠BPC=∠BOC=120∘
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.