қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2008 год
Задача №1. В каждой клетке таблицы $3\times 3$ стоит одно из чисел 1, 2 или 3. Находим сумму чисел в каждой строке и в каждом столбце. Какое наибольшее количество различных сумм может при этом получиться?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Решите уравнение: $\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+{{x}^{4}} \right)={{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{2}}.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжет). Однажды, все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: «Он — рыцарь!», либо «Он — лжец!». Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В равнобедренном треугольнике $ABC$ $(AC=BC)$ на стороне $AC$ отмечена точка $D$ так, что треугольник $ADK$ равнобедренный, где $K$ — точка пересечения отрезка $BD$ и высоты $AH$. Найдите величину угла $DBA$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Докажите, что двучлен $3{{x}^{4}}+1$ есть сумма трех квадратов с целыми коэффициентами.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Дан бесконечный ряд чисел: 2, 6, 12, 20, 30, 42, $\dots$. Укажите закономерность и найдите число, стоящее на 2008-м месте.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. В классе каждый мальчик дружит ровно с четырьмя девочками, а каждая девочка — ровно с тремя мальчиками. В классе 16 парт, а на последней экскурсии было 23 школьника. Сколько учеников в классе?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №8. В треугольнике $ABC$: $\angle B=20{}^\circ $, $\angle C=40{}^\circ $, длина биссектрисы $AM$ равна 4 см. Найдите разность длин сторон: $BC-AB$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)