Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2008 год

Задача №1. В каждой клетке таблицы

$3\times 3$ стоит одно из чисел 1, 2 или 3. Находим сумму чисел в каждой строке и в каждом столбце. Какое наибольшее количество различных сумм может при этом получиться?
комментарий/решение

Задача №2. Решите уравнение:

$\left( 1+x+{{x}^{2}} \right)\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+{{x}^{4}} \right)={{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{2}}.$
комментарий/решение(1)

Задача №3. На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжет). Однажды, все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: «Он — рыцарь!», либо «Он — лжец!». Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?
комментарий/решение(1)

Задача №4. В равнобедренном треугольнике

$ABC$

$(AC=BC)$ на стороне

$AC$ отмечена точка

$D$ так, что треугольник

$ADK$ равнобедренный, где

$K$ — точка пересечения отрезка

$BD$ и высоты

$AH$ . Найдите величину угла

$DBA$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Докажите, что двучлен

$3{{x}^{4}}+1$ есть сумма трех квадратов с целыми коэффициентами.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Дан бесконечный ряд чисел: 2, 6, 12, 20, 30, 42,

$\dots$ . Укажите закономерность и найдите число, стоящее на 2008-м месте.
комментарий/решение(1)

Задача №7. В классе каждый мальчик дружит ровно с четырьмя девочками, а каждая девочка — ровно с тремя мальчиками. В классе 16 парт, а на последней экскурсии было 23 школьника. Сколько учеников в классе?
комментарий/решение(2)

Задача №8. В треугольнике

$ABC$ :

$\angle B=20{}^\circ$ ,

$\angle C=40{}^\circ$ , длина биссектрисы

$AM$ равна 4 см. Найдите разность длин сторон:

$BC-AB$ .
комментарий/решение(1)