Қалалық Жәутіков олимпиадасы
8 сынып, 2008 жыл
3x4+1 екімүшесі коэффициенттері бүтін үш өрнектің квадраттарының қосындысына тең болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Если рассмотреть многочлены
(ax2+bx+c)2+(nx2+mx+e)2+(fx2+gx+h)2=3x4+1
То перейдем к системе
a2+f2+n2=3
ab+fg+mn=0
ac+fh+en=−(b2+m2+g2)2
bc+gh+em=0
e2+c2+h2=1
a,f,n,e,c,n целые , и c+h+e<0 откуда сразу следует решение
a=f=n=1, h=e=0, c=−1,b=0, g=−1, m=1
3x4+1=(x2−1)2+(x2+x)2+(x2−x)2
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.