Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2008 год

Задача №1. Можно ли в клетки таблицы

$n\times n$ вписать целые числа так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате

$3\times 3$ была отрицательной, а сумма всех чисел в таблице

$n\times n$ была положительной, если а)

$n=5$ ; б)

Задача №2. Мама дала Мурату денег на 30 карандашей. Оказалось, что в магазине карандашная фабрика проводит рекламную акцию: в обмен на чек о покупке набора из 20 карандашей возвращают

$25\%$ стоимости набора, а в обмен на чек о покупке набора из 5 карандашей

$10\%$ . Какое наибольшее число карандашей может купить Мурат?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Асан считает, что дроби «сокращают», зачеркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Марат заметил, что иногда Асан получает верные равенства, например,

$\dfrac{49}{98}=\dfrac{4}{8}$ . Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так «сократить».
комментарий/решение

Задача №4. В прямоугольнике

$ABCD$ отмечены точка

$M$ — середина стороны

$BC$ , точка

$N$ — середина стороны

$CD$ , точка

$K$ — точка пересечения отрезков

$BN$ и

$MD$ (см. рис.). Докажите, что

$\angle MKB=\angle MAN$ .

комментарий/решение(2)

Задача №5. Средний возраст одиннадцати футболистов — 22 года. Во время игры один из игроков получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся игроков стал 21 год. Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Женя и Антон учатся в одном классе. У Антона одноклассников вчетверо больше, чем одноклассниц. А у Жени одноклассниц на 17 меньше, чем одноклассников. Кто Женя: девочка или мальчик?
комментарий/решение(1)

Задача №7. Имеется 10 отрезков, длины которых выражаются попарно различными натуральными числами, не превосходящими 80. Докажите, что среди этих отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.
комментарий/решение(1)

Задача №8. В прямоугольном треугольнике

$ABC$ проведены биссектрисы

$AP$ и

$BQ$ из вершин острых углов. Точки

$D$ и

$E$ — основания перпендикуляров опущенных из

$Q$ и

$P$ на гипотенузу

$AB$ . Найдите угол

$DCE$ .
комментарий/решение(1)