Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Дописать справа к числу

$523 \ldots$ три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9.
комментарий/решение(2)

Задача №2. Определите 2007-ой десятичный знак после запятой десятичной дроби

$\frac{469}{1998}$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. Докажите, что

$\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} - \ldots - \dfrac{1}{{999}} + \dfrac{1}{{1000}} < \dfrac{2}{5}.$
комментарий/решение(2)

Задача №4. Пусть

$ABCD$ — параллелограмм

$(AB>AD)$ ,

$M$ — середина

$AB$ , а

$N$ — пересечение

$CD$ и биссектрисы угла

$ABC$ . Докажите, что если

$CM$ и

$BN$ перпендикулярны, тогда

$AN$ — биссектриса угла

$DAB$ .
комментарий/решение(2)

Задача №5. Пусть

$a$ ,

$b$ и

$c$ действительные числа, удовлетворяющие условиям

$a+b\ne 0$ ,

$b+c\ne 0$ ,

$a+c\ne 0$ . Докажите, что значение выражения

$\left( {1 + \frac{c} {{a + b}}} \right)\left( {1 + \frac{a} {{b + c}}} \right)\left( {1 + \frac{b} {{a + c}}} \right) - \frac{{a^3 + b^3 + c^3 }} {{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right)}}$ не зависит от значений

$a$ ,

$b$ и

$c$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Доказать, что если длины сторон прямоугольного треугольника выражаются целыми числами, то произведение чисел, выражающих длины катетов, делится на 12.
комментарий/решение(2)

Задача №7. В офисе, где работают 94 сотрудников, каждый из сотрудников знает хотя бы один язык — казахский или русский. Причем,

$70\%$ из тех, которые знают казахский, также знают и русский, а

$80\%$ из тех, которые знают русский, также знают и казахский. Сколько сотрудников данного офиса знают оба языка?
комментарий/решение(1)

Задача №8. Владелец кодового дипломата забыл трехзначный набор цифр (000-999), с помощью которого открывается дипломат. Он помнит, что сумма цифр равна 15. Какое минимальное количество вариантов ему следует опробовать, что гарантированно открыть дипломат.
комментарий/решение(1)