Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 9 класс

Пусть $ABCD$ — параллелограмм $(AB>AD)$, $M$ — середина $AB$, а $N$ — пересечение $CD$ и биссектрисы угла $ABC$. Докажите, что если $CM$ и $BN$ перпендикулярны, тогда $AN$ — биссектриса угла $DAB$.

Комментарий/решение

Заметим, что $\angle ABN =\angle CBN$ по условию; $\angle ABN =\angle BNC$ как внутренние накрест лежащие при параллельных. Из этого следует, что $\triangle BCN$- равнобедренный ($\angle CBN =\angle BNC$),значит $BC =CN$. Теперь, $\triangle MBC$ -равнобедренный, так как биссектриса угла $B$ в нем является и высотой (так как CM перпендикулярно BN). Из чего $MB=BC=CN=\dfrac {AB}{2}$(так как M-середина AB). Так как $\triangle BCN$-равнобедренный,$CM$ перпендикулярно $BN$, то $CM-$биссектриса. Биссектрисы из противоположных углов параллелограмма параллельны. $\triangle MBC =\triangle ADN$ Так как $MB=BC=AD =DN$ И $\angle MBC=\angle ADN$ как противоположные углы параллелограмма. Из чего $MC =AN$; $AM=CN$; $AMCN$- параллелограм, значит $AN||CM$,то есть $AN$-биссектриса $\angle DAB$

$MC$ мен $BN$ кесінділерінің қиылысуын $K$ деп белгілейік, және араларындағы бұрыш шарт бойынша $90^\circ$.

$BK$ кесіндісі $\triangle MBC$ үшбұрышының биіктігі әрі биссектрисасы. Соның нәтижесінде $\triangle MBC$ теңбүйірлі үшбұрыш болады.

$$MB=BC=\frac{AB}{2}=\frac{DC}{2}=a$$ деп белгілейміз.

$$\angle KNC=\angle KBM, \angle KCN=\angle KMB$$ себебі $NC\parallel BM$

Сонда үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі бойынша $\triangle MKB=\triangle CKB=\triangle CKN$ екендігі шығады.

Бұдан ары қарай $MB=BC=NC=a$ .

$MNCB$ ромб болады да, $MN\parallel BC\parallel AD$ екендігі шығады.

Сонда $AM=MB=BC=CN=DN=DA$

$ADNM$ барлық қабырғалары $a$-ға тең паралеллограмм болғандықтан ромб болады. Ал ромб диагоналы сол диагонал шыққан төбесінің биссектрисасы болады. Д.К.О.