қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Дописать справа к числу $523 \ldots$ три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Определите 2007-ой десятичный знак после запятой десятичной дроби $\frac{469}{1998}$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Докажите, что $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} - \ldots - \dfrac{1}{{999}} + \dfrac{1}{{1000}} < \dfrac{2}{5}.$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Пусть $ABCD$ — параллелограмм $(AB>AD)$, $M$ — середина $AB$, а $N$ — пересечение $CD$ и биссектрисы угла $ABC$. Докажите, что если $CM$ и $BN$ перпендикулярны, тогда $AN$ — биссектриса угла $DAB$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Пусть $a$, $b$ и $c$ действительные числа, удовлетворяющие условиям $a+b\ne 0$, $b+c\ne 0$, $a+c\ne 0$. Докажите, что значение выражения $$
\left( {1 + \frac{c}
{{a + b}}} \right)\left( {1 + \frac{a}
{{b + c}}} \right)\left( {1 + \frac{b}
{{a + c}}} \right) - \frac{{a^3 + b^3 + c^3 }}
{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right)}}
$$
не зависит от значений $a$, $b$ и $c$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Доказать, что если длины сторон прямоугольного треугольника выражаются целыми числами, то произведение чисел, выражающих длины катетов, делится на 12.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №7. В офисе, где работают 94 сотрудников, каждый из сотрудников знает хотя бы один язык — казахский или русский. Причем, $70\%$ из тех, которые знают казахский, также знают и русский, а $80\%$ из тех, которые знают русский, также знают и казахский. Сколько сотрудников данного офиса знают оба языка?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Владелец кодового дипломата забыл трехзначный набор цифр (000-999), с помощью которого открывается дипломат. Он помнит, что сумма цифр равна 15. Какое минимальное количество вариантов ему следует опробовать, что гарантированно открыть дипломат.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)