Математикадан аудандық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$523...$ санына үш цифрды оң жағынан жазыңыз, шыққан алты таңбалы сан 7, 8 және 9 санына бөлінуі керек.
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$\dfrac{469}{1998}$ ондық бөлшегінің үтірден кейінгі 2007-ші ондық таңбасын табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Теңсіздікті дәлелдеңіз:

$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\ldots -\dfrac{1}{999}+\dfrac{1}{1000} < \dfrac{2}{5}.$
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$ABCD$ параллелограм болсын (

$AB > AD$ ),

$M$ —

$AB$ -ның ортасы, ал

$N$ —

$CD$ мен

$ABC$ бұрышының биссектрисасының қиылысуы.

$CM$ мен

$BN$ перпендикуляр болса, онда

$AN$ кесіндісі

$DAB$ бұрышының биссектрисасы болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

$a+b\ne 0$ ,

$b+c\ne 0$ ,

$a+c\ne 0$ болатындай

$a$ ,

$b$ және

$c$ нақты сандар берілсін. Келесі өрнек

$\left( 1+\dfrac{c}{a+b} \right)\left( 1+\dfrac{a}{b+c} \right)\left( 1+\dfrac{b}{a+c} \right)-\dfrac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( a+c \right)}$

$a$ ,

$b$ және

$c$ мәндеріне тәуелсіз екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Тік бұрышты үшбұрыштың кабырғаларының ұзындықтарының мәні бүтін болса, онда катеттердің ұзындықтарының көбейтіндісі 12-ге бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №7. Офисте 94 қызметкер бар. Әр қызметкер кем дегенде бір тіл біледі — қазақша немесе орысша. Сонымен катар қазақша білетіндердің

$70\%$ тағы орыс тілін біледі, ал орысша білетіндердің

$80\%$ тағы қазақ тілін біледі. Офиста қанша қызметкер екі тілді де біледі?
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Дипломаттың иесі кодпен ашылатын дипломаттың 3-таңбалы саннан (000-999) тұратын кодты ұмытып калыпты. Оның тек ол санның цифрларының косындысы 15 екені ғана есінде бар. Димпломатты кепілді түрде ашу үшін ең аз дегенде оған қанша вариант қарап шығу керек?
комментарий/решение(1)