Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 9 класс

Доказать, что если длины сторон прямоугольного треугольника выражаются целыми числами, то произведение чисел, выражающих длины катетов, делится на 12.

Комментарий/решение

$a^2+b^2=c^2$

Известно, что $n^2 \equiv \{0;\,1\}\pmod{3}$.

Пусть $a \wedge b \not \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow a^2+b^2 \equiv 2 \pmod{3}$,

но $c^2 \equiv \{0;\,1\}\pmod{3}$, значит $a \vee b \, \vdots \, 3$.

Известно, что $n^2 \equiv \{0;\,1;\,4;\,9\}\pmod{16}$.

Пусть $a \wedge b \not \equiv 0 \pmod{16} \Rightarrow a^2+b^2 \equiv \{2;\,5;\,8;\,10;\,13 \} \pmod{16}$,

но $c^2 \equiv \{0;\,1;\,4;\,9\}\pmod{16}$, значит $a \vee b \, \vdots \, 4$.

Значит $ab \, \vdots \, 12$.

Допустим катеты равны 3 и 4, тогда 3²+4² дают по моду 3 остаток 1, и по моему лучше использовать остаток по моду 4, а не по 16, при рассмотрении по моду 4, сумма квадратов катетов даст такой же остаток как и по моду 3