Processing math: 10%

Математикадан аудандық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып


Тік бұрышты үшбұрыштың кабырғаларының ұзындықтарының мәні бүтін болса, онда катеттердің ұзындықтарының көбейтіндісі 12-ге бөлінетінін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -2
8 года 5 месяца назад #

a2+b2=c2

Известно, что n^2 \equiv \{0;\,1\}\pmod{3}.

Пусть a \wedge b \not \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow a^2+b^2 \equiv 2 \pmod{3},

но c^2 \equiv \{0;\,1\}\pmod{3}, значит a \vee b \, \vdots \, 3.

Известно, что n^2 \equiv \{0;\,1;\,4;\,9\}\pmod{16}.

Пусть a \wedge b \not \equiv 0 \pmod{16} \Rightarrow a^2+b^2 \equiv \{2;\,5;\,8;\,10;\,13 \} \pmod{16},

но c^2 \equiv \{0;\,1;\,4;\,9\}\pmod{16}, значит a \vee b \, \vdots \, 4.

Значит ab \, \vdots \, 12.

  0
5 года 11 месяца назад #

Допустим катеты равны 3 и 4, тогда 3²+4² дают по моду 3 остаток 1, и по моему лучше использовать остаток по моду 4, а не по 16, при рассмотрении по моду 4, сумма квадратов катетов даст такой же остаток как и по моду 3