Математикадан аудандық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып
Тік бұрышты үшбұрыштың кабырғаларының ұзындықтарының мәні бүтін болса, онда катеттердің ұзындықтарының көбейтіндісі 12-ге бөлінетінін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
a2+b2=c2
Известно, что n^2 \equiv \{0;\,1\}\pmod{3}.
Пусть a \wedge b \not \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow a^2+b^2 \equiv 2 \pmod{3},
но c^2 \equiv \{0;\,1\}\pmod{3}, значит a \vee b \, \vdots \, 3.
Известно, что n^2 \equiv \{0;\,1;\,4;\,9\}\pmod{16}.
Пусть a \wedge b \not \equiv 0 \pmod{16} \Rightarrow a^2+b^2 \equiv \{2;\,5;\,8;\,10;\,13 \} \pmod{16},
но c^2 \equiv \{0;\,1;\,4;\,9\}\pmod{16}, значит a \vee b \, \vdots \, 4.
Значит ab \, \vdots \, 12.
Допустим катеты равны 3 и 4, тогда 3²+4² дают по моду 3 остаток 1, и по моему лучше использовать остаток по моду 4, а не по 16, при рассмотрении по моду 4, сумма квадратов катетов даст такой же остаток как и по моду 3
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.