Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2012 жыл

Есеп №1.

$xOy$ координат жазықтығында

$y={{x}^{2}}$ параболасы салынған.

$A$ ,

$B$ және

$C$ берілген параболадағы әр түрлі нүктелер болсын.

$BC$ түзуінің

$Oy$ өсімен қиылысу нүктесін

${{A}_{1}}$ арқылы белгілейік. Дәл сол сияқты

${{B}_{1}}$ мен

${{C}_{1}}$ нүктелері анықталсын.

$A$ ,

$B$ және

$C$ нүктелерінен

$Ox$ өсіне дейінгі қашықтықтардың қосындысы

${{A}_{1}}$ ,

${{B}_{1}}$ және

${{C}_{1}}$ нүктелерінен

$Ox$ өсіне дейінгі қашықтықтардың қосындысынан үлкен екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$2013 \times 2013$ квадрат тақтасының әр шаршысына

$1$ немесе

$-1$ саны жазылған.

${{A}_{i}}$ арқылы

$i$ қатарындағы сандар көбейтіндісін, ал

${{B}_{i}}$ арқылы

$i$ бағанындағы сандар көбейтіндісін белгілейік.

$\sum\limits_{i=1}^{2013}{({{A}_{i}}+{{B}_{i}})}$ қосындысы нөлге тең бола ала ма?
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Теңбүйірлі

$ABC$

$(BC=AC)$ үшбұрышының

$BN$ биссектриссасында

$BK=KC$ және

$KN=NA$ болатындай

$K$ нүктесі табылған.

$ABC$ үшбұрышының бұрыштарын табыңыз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$n$ қандай да бір берілген натурал сан, ал

$\{0,1,\ldots,{{n}^{2}}-1\}$ жиынындағы

$m$ саны, қандай да болмасын бүтін

$x$ және

$y$ сандары үшін

${{x}^{n}}+{{y}^{n}}-m$ саны

${{n}^{2}}$ -қа бөлінбейтін сан болсын. Осы шартты қанағаттандыратын

$m$ санының саны

$\dfrac{n(n-1)}{2}$ -ден кем емес екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)