Городская олимпиада по математике среди физ-мат школАлматы, 2012 год

В клетках квадратной таблицы $2013\times 2013$ записано число $1$ или $-1$. Пусть ${{A}_{i}}$ – произведение всех чисел строки $i$, а ${{B}_{i}}$ – произведение всех чисел столбца $i$. Может ли сумма $\sum\limits_{i=1}^{2013}{({{A}_{i}}+{{B}_{i}})}$ равняться нулю?

Комментарий/решение

Ответ :не может.

Покожем, что сумма произведений строк имеет в любом случае тот же знак, что и сумма произведений столбцов. Это потому, что они равны. Представим себе таблицу 2013 на 2013 , полностью заполненную отрицательными числами. Получим одинаковую сумму как по столбцам, так и по строкам. Изменим какую нибудь ячейку на противоположный знак. От этого изменится одинаково как сумма столбцов, так и строк. Делая так сколько угодно раз, все равно будем получать одинаковые суммы произведений строк и столбцов, что значит, что сумма никак не может быть равной нулю

Ответ: Нет, не может.

Заметим, что произведение строк равняется произведению столбцов. То есть, если у нас четное количество отрицательных строк и нечетное количество положительных строк, значит у нас четное количество отрицательных столбцов и нечетное количество положительных столбцов, и наоборот.

Б. О. О. пусть отрицательных строк четно ($2k$), а положительных строк нечетно ($2013-2k$), аналогично отрицательных столбцов $2p$, положительных столбцов $2013-2p$.

То есть, из условий у нас спрашивают: $$(2013-2k)+(-2k)+(2013-2p)+(-2p)=0?$$

Что не верно, так как:

$$4026=4k+4p$$

$$2013=2k+2p$$

А 2013 не делится на 2.