21-я Балканская математическая олимпиада
Плевен, Болгария, 2004 год

Задача №1.  Последовательность действительных чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$ удовлетворяет соотношению $a_{m+n} + a_{m-n} - m + n - 1 = \dfrac{(a_{2m} + a_{2n})}{2}$ для любых неотрицательных чисел $m$ и $n$, $m \geq n$. Найдите $a_{2004}$, если $a_1 = 3$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Решите уравнение $x^y - y^x = xy^2 - 19$ во множестве простых чисел.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Пусть точка $O$ лежит внутри остроугольного треугольника $ABC$. Окружности, с центрами в серединах сторон треугольника, проходят через точку $O$ и пересекаются второй раз в точках $K$, $L$ и $M$, отличных от $O$. Докажите, что $O$ является центром вписанной окружности треугольника $KLM$ тогда и только тогда, когда $O$ есть центр описанной окружности треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Плоскость разделена на части конечным числом прямых, никакие три из которых не пересекаются в одной точке. Две части называются "соседними", если пересечение их границ есть или отрезок, или полупрямая, или прямая (точка не является отрезком). Kаждой из частей делается попытка поставить в соответствие целое число таким образом, что бы одновременно выполнялись следующие два условия:
а) произведение чисел, соответствующих двум соседним частям, меньше чем их сумма;
б) для каждой прямой, сумма чисел, соответствующим всем частям, расположенным в одной и той же полуплоскости, равна нулю.
Докажите, что сделать данное соответствие возможно тогда и только тогда, когда не все прямые параллельны между собой.
комментарий/решение(4)

---