21-я Балканская математическая олимпиадаПлевен, Болгария, 2004 год

Решите уравнение $x^y - y^x = xy^2 - 19$ во множестве простых чисел.

Комментарий/решение

$Ответ:(2,3),(2,7).$

При $x=y$ нет решений. Тогда $(x,y)=1$. По Малой теореме Ферма $x^{y}-x$ делится на $y$. Тогда $x^{y}-x-y^{x}+y$ делится $xy$. Так как $x-y \equiv x^{y}-y^{x} \equiv -19$ ($mod$ $xy$). Тогда $x+19 \equiv y$ ($mod$ $xy$). Если $x+19=y$ , четность $x,y$ различны, $y=2$ и $x=21$, но эти числа не удовлетворяет условию. Тогда $x-y+19$ делится на $xy$. При $y=2$, $x+17$ делится на $2x$, когда $x>17$, $2x>x+17$. Перебирая случии при $x\leq17$ подходит только $17$. Но если подставить эти числа в данное уравнение, они не подходят. Другие случии ($y=3,x=2,x=3$) перебираются аналогично. И найдются пары $(2,3)$, $(2,7)$. Рассмотрем случий при $x,y\geq5$. Пусть $k$ натуральное что $x-y+19=xyk$ или $x+19=y(xk+1)$, но $y(xk+1)\geq5xk+5\geq5x+5>x+19$.