Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

21-я Балканская математическая олимпиада
Плевен, Болгария, 2004 год


Решите уравнение xyyx=xy219 во множестве простых чисел.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
6 года назад #

Ответ:(2,3),(2,7).

При x=y нет решений. Тогда (x,y)=1. По Малой теореме Ферма xyx делится на y. Тогда xyxyx+y делится xy. Так как xyxyyx19 (mod xy). Тогда x+19y (mod xy). Если x+19=y , четность x,y различны, y=2 и x=21, но эти числа не удовлетворяет условию. Тогда xy+19 делится на xy. При y=2, x+17 делится на 2x, когда x>17, 2x>x+17. Перебирая случии при x17 подходит только 17. Но если подставить эти числа в данное уравнение, они не подходят. Другие случии (y=3,x=2,x=3) перебираются аналогично. И найдются пары (2,3), (2,7). Рассмотрем случий при x,y5. Пусть k натуральное что xy+19=xyk или x+19=y(xk+1), но y(xk+1)5xk+55x+5>x+19.

  0
13 дней 10 часов назад #

Отличное решение