21-я Балканская математическая олимпиада
Плевен, Болгария, 2004 год
Решите уравнение xy−yx=xy2−19 во множестве простых чисел.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ:(2,3),(2,7).
При x=y нет решений. Тогда (x,y)=1. По Малой теореме Ферма xy−x делится на y. Тогда xy−x−yx+y делится xy. Так как x−y≡xy−yx≡−19 (mod xy). Тогда x+19≡y (mod xy). Если x+19=y , четность x,y различны, y=2 и x=21, но эти числа не удовлетворяет условию. Тогда x−y+19 делится на xy. При y=2, x+17 делится на 2x, когда x>17, 2x>x+17. Перебирая случии при x≤17 подходит только 17. Но если подставить эти числа в данное уравнение, они не подходят. Другие случии (y=3,x=2,x=3) перебираются аналогично. И найдются пары (2,3), (2,7). Рассмотрем случий при x,y≥5. Пусть k натуральное что x−y+19=xyk или x+19=y(xk+1), но y(xk+1)≥5xk+5≥5x+5>x+19.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.