21-я Балканская математическая олимпиадаПлевен, Болгария, 2004 год

Пусть точка $O$ лежит внутри остроугольного треугольника $ABC$. Окружности, с центрами в серединах сторон треугольника, проходят через точку $O$ и пересекаются второй раз в точках $K$, $L$ и $M$, отличных от $O$. Докажите, что $O$ является центром вписанной окружности треугольника $KLM$ тогда и только тогда, когда $O$ есть центр описанной окружности треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Если $O$ - центр описанной окружности $ABC$, то $OBC$ равнобедренный, тогда $ \alpha = \angle OBD = \angle OCD$, где $D,E,F$ - середины сторон треугольника $ABC$, а поскольку четырехугольники $BDOF$ и $CDOE$ вписанные, получаем, что $ \alpha= \angle OFD = \angle OED$, а так как $OL \perp DF$ а также $OM \perp DE$, получаем, что $\angle LKO = \angle MKL$, следовательно $KO$ - биссектриса внутреннего угла $\angle MKL$. Аналогично доказываем, что $O$ лежит на двух других биссектрисах внутренних углов, и все.

Предположим теперь, что $O$ является центром треугольника $KLM$. Тогда $\angle LKO = \angle OKM \Rightarrow \angle OFD = \angle OED$. Также, $\angle OEF = \angle ODF$ и $\angle ODE = \angle OFE$. Итак, $\angle FOE = \pi - \angle OFE - \angle OEF = \pi - \angle FDE = \pi - \angle BAC$, поэтому $AEOF$ вписанный . Точно так же $BFOD$ и $CDOE$ вписанные поэтому $\angle OFD = \angle OBD$ и $\angle OED = \angle OCD$, поэтому $\angle OBD = \angle OCD$, поэтому $OB=OC$. Таким же образом $OA=OB=OC$, решение окончено