21-я Балканская математическая олимпиадаПлевен, Болгария, 2004 год

Последовательность действительных чисел $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$ удовлетворяет соотношению $a_{m+n} + a_{m-n} - m + n - 1 = \dfrac{(a_{2m} + a_{2n})}{2}$ для любых неотрицательных чисел $m$ и $n$, $m \geq n$. Найдите $a_{2004}$, если $a_1 = 3$.

Комментарий/решение

$\textbf{Решение:}$ Положим $b_n=a_n-n-1$. Тогда $b_1=a_1-2=3-2=1$ , следовательно имеем

$$2b_{m+n}+2b_{m-n}=b_{2m}+b_{2n} \qquad \qquad \qquad (1)$$

Из равенства $(1)$ при $m=n=0$ получим $2b_0+2b_0=b_0+b_0\Rightarrow \fbox{$b_{0}=0$}.$ При $n=0$ равенство $(1)$ имеет следующий вид

$$b_{2m}=4b_m\qquad \qquad \qquad (2)$$

Теперь используя метод математической индукции, докажем, что последовательность $$b_m=m^2, \quad m=0,1,2,3,...\qquad \qquad \qquad (3)$$ является решением уравнения $(2)$.

$\textbf{Начало индукции:}$ Если $m=1$, то $4b_1=4=2^2=b_2$ равенство очевидно.

$\textbf{Индуктивный переход:}$

1) Предположим, что это верно для всех $1<m\leq 2k-1$. Тогда для четных членов последовательности $$4b_{2k}=4(2k)^2=2^2(2k)^2=(4k)^2=b_{4k}=b_{2(2k)}.$$

2) Предположим, что это верно для всех $1<m\leq 2k$. Тогда для нечетных членов

последовательности $$4b_{2k+1}=4(2k+1)^2=2^2(2k+1)^2=(2(2k+1))^2=(4k+2)^2=b_{4k+2}=b_{2(2k+1)}.$$

Таким образом, мы доказали,что последовательность $b_m=m^2, \quad m=0,1,2,3,...$ является решением уравнения $(2)$.

С другой стороны, $b_n=a_n-n-1=n^2$, отсюда $a_n=n^2+n+1.$

$\textbf{Ответ:}$ $a_{2004}=2004\cdot 2005+1$.