қазақша
русскийМатематикадан 21 - ші Балкан олимпиадасы, Плевен, Болгария, 2004 жыл
Есеп №1. Кез келген теріс емес $m$ және $n$, $m \geq n$ сандары үшін $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$ нақты сандар тізбегі $a_{m+n} + a_{m-n} - m + n - 1 = \dfrac{(a_{2m} + a_{2n})}{2}$ шартын қанағаттандырады. Егер $a_1 = 3$ болса $a_{2004}$ табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $O$ нүктесі сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы ішіндегі нүкте болсын. Центрлері қабырғаларының орталарында жататын шеңберлер $O$ нүктесінде, екінші рет $K$, $L$ және $M$ нүктелерінде қиылысады. Дәлелдеңіздер: $O$ нүктесі $KLM$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі болады тек және тек сонда ғана егер $O$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі болса.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Ешбір үшеуі бір нүктеде қиылыспайтындай жазықтық саны түзулермен ақырлы бөліктерге бөлінді. Екі бөлікті «көршілес» деп айтамыз, егер олардың шекаралары не кесінді, не жарты түзу, не түзу болса (нүкте кесінді болса). Әрбір бөлік үшін келесі екі шарттар қатар орындалатындай бүтін сан сәйкестендіріп қойылады:
а) екі көршілес бөліктерге сәйкес келетін сандар көбейтіндісі қосындысынан кем;
б) әрбір түзу үшін бір жарты жазықтықта орналасқан барлық сәйкес сандардың қосындысы нөлге тең.
Дәлелдеңіз: Бөлшектерді бұлай сәйкестендіру мүмкін болады тек және тек сонда ғана егер барлық түзулер параллель болмаса.
комментарий/решение
а) екі көршілес бөліктерге сәйкес келетін сандар көбейтіндісі қосындысынан кем;
б) әрбір түзу үшін бір жарты жазықтықта орналасқан барлық сәйкес сандардың қосындысы нөлге тең.
Дәлелдеңіз: Бөлшектерді бұлай сәйкестендіру мүмкін болады тек және тек сонда ғана егер барлық түзулер параллель болмаса.
комментарий/решение