қазақша
русскийЭйлер атындағы олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры
Есеп №1. Тақтада төрт сан жазылған, олардың ешқайсысы нөлге тең емес. Егер әр санды қалған үш санның қосындысына көбейтсе, онда барлық төрт жағдайда да бірдей нәтиже шығады. Тақтадағы жазылған сандардың квадраттары тең екенін дәлелдеңіздер.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Өлшемі $20\times20$ болатын тақтадан кез келген 18 шаршыны қиып алып тастап, қалған шаршыларға бірін-бірі ұрмайтын ладьялар қоюға болады. Осындай шарттармен тақтаға ең көп дегенде қанша ладья қойып шыға аламыз? Егер ладьялар бір жолда немесе бір бағанда тұрса, және олардың арасында кесіп алынған шаршы болмаса, онда олар бірін-бірі ұрады деп санаймыз.
(
Р. Женодаров,
О. Дмитриев
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. Егер натурал санның бөлгіші сол саннан кіші бірақ 1-ден үлкен болса, онда ол бөлгішті өздік бөлгіш деп атаймыз. Натурал $n$ санының барлың өздік бөлгіштерін тауып шығып(олардың саны 3-тен кем емес болып шыққан), барлық мүмкін кез келген екеуінің қосындысын жазған (екінші рет қайталанған қосындыны жазбаған). Олай болса пайда болған жиын ешқандай санның өздік бөлгіштер жиынымен беттеспейтінін дәлелде.
(
А. Храбров
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Дөңес $ABCD$ төртбұрышының $AB$ және $BC$ қабырғаларының орта перпендикулярлары $CD$ және $DA$ қабырғаларын сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қиыды. Сонда $\angle APB=\angle BQC$ болып шыққан. Төртбұрыш ішінен $QX \parallel AB$ және $PX \parallel BC$ болатындай $X$ нүктесі алынған. $BX$ түзуі $AC$ диагоналін қақ бөлетінін дәлелдеңіздер.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)