11-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2015 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Каждая точка плоскости с целыми координатами покрашена в белый или голубой цвет. Докажите, что можно выбрать цвет так, чтобы при каждом натуральном

$n$ нашёлся треугольник площади

$n$ с тремя вершинами выбранного цвета. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Задача №2. Точка

$M$ лежит внутри треугольника

$ABC$ . Прямая

$BM$ пересекает сторону

$AC$ в точке

$N$ . Точка

$K$ симметрична

$M$ относительно

$AC$ . Прямая

$BK$ пересекает

$AC$ в точке

$P$ . Докажите, что если

$\angle AMP=\angle CMN$ , то

$\angle ABP=\angle CBN$ . ( Н. Седракян )
комментарий/решение(3)

Задача №3. Найдите все функции

$f:\Bbb R\to \Bbb R$ такие, что

$f(x^3+y^3+xy)=x^2f(x)+y^2f(y)+f(xy)$ при всех

$x, y\in \Bbb R$ . ( Исмаилов Ш.Н. )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Найдите наибольшее натуральное

$n$ такое, что для любого натурального

$k \le \dfrac{n}{2}$ найдутся два натуральных делителя

$n$ с разностью

$k$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Обозначим через

$A_n$ множество разбиений последовательности

$1, 2, \dots, n$ на несколько подпоследовательностей, в каждой из которых любые два соседних члена имеют разную чётность, а через

$B_n$ — множество разбиений последовательности

$1, 2, \dots, n$ на несколько подпоследовательностей, в каждой из которых все члены имеют одинаковую чётность (например, разбиение

$\{(1, 4, 5, 8), (2, 3), (6, 9), (7)\}$ является элементом

$A_9$ , а разбиение

$\{(1, 3, 5), (2, 4), (6)\}$ является элементом

$B_6$ ).
Докажите, что при каждом натуральном

$n$ множества

$A_n$ и

$B_{n+1}$ содержат одинаковое количество элементов. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Задача №6. Площадь выпуклого пятиугольника

$ABCDE$ равна

$S$ , а радиусы описанных окружностей треугольников

$ABC$ ,

$BCD$ ,

$CDE$ ,

$DEA$ и

$EAB$ —

$R_1$ ,

$R_2$ ,

$R_3$ ,

$R_4$ и

$R_5$ . Докажите неравенство

$R_1^4 + R_2^4 + R_3^4 + R_4^4 + R_5^4 \geq \dfrac{4}{{5{{\sin }^2}{{108}^\circ }}}{S^2}.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)

результаты