қазақша
русский11-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2015 жыл
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Координаталары бүтін сан болатын жазықтықтағы әр нүкте ақ немесе көк түске боялған. Кез келген натурал $n$ саны үшін, ауданы $n$-ге тең және төбелері бір түсті нүкте болатындай түс таңдап алуға болатынын дәлелдеңіздер.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $M$ нүктесі $ABC$ үшбұрышының ішінде жатыр. $BM$ түзуі $AC$ қабырғасын $N$ нүктеде қияды. $K$ нүктесі $M$-ге $AC$-ға қарағандағы симметриялы нүкте. $BK$ түзуі $AC$-ны $P$ нүктесінде қисын. Егер $\angle AMP=\angle CMN$ болса, онда $\angle ABP=\angle CBN$ екенін дәлелдеңіз.
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. Кез келген $x, y\in \mathbb{R}$ үшін $f(x^3+y^3+xy)=x^2f(x)+y^2f(y)+f(xy)$ теңдігін қанағаттандыратын $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар.
(
Исмаилов Ш.Н.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Келесі шартты қанағаттандыратын натурал $n$ санының ең үлкен мәнін табыңыздар: кез келген $k \leq \dfrac{n}{2}$ үшін, айырымы $k$-ға тең болатын $n$ санының қандай да бір екі бөлгіштері бар.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $A_n$ арқылы 1, 2, $\dots$, $n$ тізбегін келесі шартты қанағаттандыратын ішкі тізбекке бөлу жиынын белгілейік: сол ішкі тізбектің кез келген екі көрші сандар жұптығы бірдей. Ал $B_n$ арқылы 1, 2, $\dots$, $n$ тізбегін келесі шартты қанағаттандыратын ішкі тізбекке бөлу жиынын белгілейік: сол ішкі тізбектің кез келген екі көрші сандар жұптығы әртүрлі. Мысалға, $\{(1, 4, 5, 8), (2, 3), (6, 9), (7)\}$ жиындары $A_9$ жиынының элменттері, ал $\{(1, 3, 5), (2, 4), (6)\}$ жиындары $B_6$ жиынының элементтері. Кез келген натурал $n$ саны үшін $A_n$ және $B_{n+1}$ жиындарында элементтер саны тең екенін дәлелдеңіз.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Дөңес $ABCDE$ бесбұрышының ауданы $S$-ке тең, ал $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$ және $EAB$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер радиустары $R_1$, $R_2$,
$R_3$, $R_4$ және $R_5$-ке тең. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер $R_1^4+R_2^4+R_3^4+R_4^4+R_5^4\geq \dfrac{4}{5\sin^2 108^\circ} S^2.$
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)