11-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2015 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Координаталары бүтін сан болатын жазықтықтағы әр нүкте ақ немесе көк түске боялған. Кез келген натурал

$n$ саны үшін, ауданы

$n$ -ге тең және төбелері бір түсті нүкте болатындай түс таңдап алуға болатынын дәлелдеңіздер. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$M$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышының ішінде жатыр.

$BM$ түзуі

$AC$ қабырғасын

$N$ нүктеде қияды.

$K$ нүктесі

$M$ -ге

$AC$ -ға қарағандағы симметриялы нүкте.

$BK$ түзуі

$AC$ -ны

$P$ нүктесінде қисын. Егер

$\angle AMP=\angle CMN$ болса, онда

$\angle ABP=\angle CBN$ екенін дәлелдеңіз. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Кез келген

$x, y\in \mathbb{R}$ үшін

$f(x^3+y^3+xy)=x^2f(x)+y^2f(y)+f(xy)$ теңдігін қанағаттандыратын

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар. ( Исмаилов Ш.Н. )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Келесі шартты қанағаттандыратын натурал

$n$ санының ең үлкен мәнін табыңыздар: кез келген

$k \leq \dfrac{n}{2}$ үшін, айырымы

$k$ -ға тең болатын

$n$ санының қандай да бір екі бөлгіштері бар. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$A_n$ арқылы 1, 2,

$\dots$ ,

$n$ тізбегін келесі шартты қанағаттандыратын ішкі тізбекке бөлу жиынын белгілейік: сол ішкі тізбектің кез келген екі көрші сандар жұптығы бірдей. Ал

$B_n$ арқылы 1, 2,

$\dots$ ,

$n$ тізбегін келесі шартты қанағаттандыратын ішкі тізбекке бөлу жиынын белгілейік: сол ішкі тізбектің кез келген екі көрші сандар жұптығы әртүрлі. Мысалға,

$\{(1, 4, 5, 8), (2, 3), (6, 9), (7)\}$ жиындары

$A_9$ жиынының элменттері, ал

$\{(1, 3, 5), (2, 4), (6)\}$ жиындары

$B_6$ жиынының элементтері. Кез келген натурал

$n$ саны үшін

$A_n$ және

$B_{n+1}$ жиындарында элементтер саны тең екенін дәлелдеңіз. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Дөңес

$ABCDE$ бесбұрышының ауданы

$S$ -ке тең, ал

$ABC$ ,

$BCD$ ,

$CDE$ ,

$DEA$ және

$EAB$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер радиустары

$R_1$ ,

$R_2$ ,

$R_3$ ,

$R_4$ және

$R_5$ -ке тең. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер

$R_1^4+R_2^4+R_3^4+R_4^4+R_5^4\geq \dfrac{4}{5\sin^2 108^\circ} S^2.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)

результаты