11-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2015 год

Найдите все функции $f:\Bbb R\to \Bbb R$ такие, что $f(x^3+y^3+xy)=x^2f(x)+y^2f(y)+f(xy)$ при всех $x, y\in \Bbb R$. ( Исмаилов Ш.Н. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: $f(x)=cx$, $c\in{\mathbb R}$.
В данное уравнение $$f(x^3+y^3+xy)=x^2f(x)+y^2f(y)+f(xy) \quad (1)$$ подставим $x=1$, $y=0$ и получим $f(0)=0$. Возьмем в (1) $y=0$, будем иметь $$f(x^3)=x^2f(x). \quad (2)$$
Подстановка в (1) $y=-x$ дает $$ f(-x^2)=x^2f(x)+x^2f(-x)+f(-x^2)\Bbb \Rightarrow f(-x)=-f(x). \quad (3) $$ Из (1) и (3) имеем $$f(x^3+y^3+xy)+f(x^3-y^3-xy)=x^2f(x)+y^2f(y)+f(xy)+x^2f(x)-y^2f(y)-f(xy)=2x^2f(x)=2f(x^3). \quad (4) $$ Заметим, что для любых $a$, $b\in{\mathbb R}$ найдутся $x$, $y\in{\mathbb R}$ такие, что \[ a=x^3+y^3+xy,\quad b=x^3-y^3-xy.\] Для этого достаточно взять $x$, $y$ из равенств \[ x^3=\dfrac{a+b}{2},\quad y^3+xy=\dfrac{a-b}{2} \] (тут левые части — функции, принимающие все действительные значения). Таким образом, (4) можно записать в виде \[ f(a)+f(b)=2f\Bigl(\dfrac{a+b}{2}\Bigr),\quad a,\ b\in\mathbb{R}. \] Отсюда также имеем \[ f(0)+f(a+b)=2f\Bigl(\dfrac{a+b}{2}\Bigr)\Bbb \Rightarrow f(a+b)=f(a)+f(b),\quad a,\ b\in\mathbb{R}. \] Тепер сделаем в (2) замену $x\to x+1$, обозначение $c=f(1)$, доказанную нами аддитивность $f$, и получим \begin{eqnarray*} f((x+1)^3)=(x+1)^2f(x+1)\\ \Leftrightarrow f(x^3)+3f(x^2)+3f(x)+c=(x^2+2x+1)(f(x)+c)\\ \Leftrightarrow 3f(x^2)=(2x-2)f(x)+(x^2+2x)c \quad (5) \end{eqnarray*} Заменив в (5) $x\to -x$, получим $$3f(x^2)=(-2x-2)f(-x)+(x^2-2x)c=(2x+2)f(x)+(x^2-2x)c. \quad (6)$$ Приравнивая правые части (5) и (6), получим \[ f(x)=cx. \] Проверка подтверждает, что при всех $c\in{\mathbb R}$ такая функция будет удовлетворять условию задачи.