Математикадан облыстық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$x$ ,

$y$ ,

$z$ — нақты сандары

$x+y+z > \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$ теңсіздігін қанағаттандырады. Онда

$x+y+z > \sqrt[3]{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(6)

Есеп №2.

$\dfrac{{{3}^{a}}-{{2}^{a}}}{{{2}^{a}}-1}$ өрнегі рационал санның квадраты болатындай барлық

$a$ натурал сандарын табыңыз.
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$AB$ және

$BC$ қабырғалары тең болатын

$ABC$ үшбұрышының

$AB$ және

$AC$ қабырғаларынан сәйкесінше

$M$ және

$N$ нүктелері алынған.

$AMN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$ABC$ үшбұрышының

$BC$ қабырғасын

$P$ нүктесінде жанайды.

$MP$ түзуі

$CNP$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет

$Q$ нүктесінде қисын.

$AP/QM$ қатынасын табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Үшбұрыш медианасы жақсы деп аталады, егер ол үшбұрыштың бір қабырғасына тең болса. Барлық үш медиана жақсы болуы мүмкін бе?
комментарий/решение(4)

Есеп №5. Кез-келген әртүрлі бес оң сан ішінен айырымы және қосындысы қалған үш санның ешқайсысына тең болмайтындай етіп екі сан таңдауға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)

Есеп №6.

$n$ натурал сан болсын.

${{P}_{k}}\left( n \right)$ деп

$n$ санының

$k$ санына бөлінетін бөлгіштерінің көбейтіндісін белгілейік (бос көбейтінді 1-ге тең).

${{P}_{1}}\left( n \right)\cdot {{P}_{2}}\left( n \right)\cdot \ldots \cdot {{P}_{n}}\left( n \right)$ көбейтіндісі натурал санның квадраты болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)