қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 9 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $x$, $y$, $z$ — нақты сандары $x+y+z > \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$ теңсіздігін қанағаттандырады. Онда $x+y+z > \sqrt[3]{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Есеп №2. $\dfrac{{{3}^{a}}-{{2}^{a}}}{{{2}^{a}}-1}$ өрнегі рационал санның квадраты болатындай барлық $a$ натурал сандарын табыңыз.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. $AB$ және $BC$ қабырғалары тең болатын $ABC$ үшбұрышының $AB$ және $AC$ қабырғаларынан сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелері алынған. $AMN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасын $P$ нүктесінде жанайды. $MP$ түзуі $CNP$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет $Q$ нүктесінде қисын. $AP/QM$ қатынасын табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Үшбұрыш медианасы жақсы деп аталады, егер ол үшбұрыштың бір қабырғасына тең болса. Барлық үш медиана жақсы болуы мүмкін бе?
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №5. Кез-келген әртүрлі бес оң сан ішінен айырымы және қосындысы қалған үш санның ешқайсысына тең болмайтындай етіп екі сан таңдауға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №6. $n$ натурал сан болсын. ${{P}_{k}}\left( n \right)$ деп $n$ санының $k$ санына бөлінетін бөлгіштерінің көбейтіндісін белгілейік (бос көбейтінді 1-ге тең). ${{P}_{1}}\left( n \right)\cdot {{P}_{2}}\left( n \right)\cdot \ldots \cdot {{P}_{n}}\left( n \right)$ көбейтіндісі натурал санның квадраты болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)