Областная олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс

Найдите все натуральные числа $a$, для которых $\dfrac{3^a-2^a}{2^a-1}$ является квадратом некоторого рационального числа.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $a=1$.
Решение. Нечетное число $a=1$ удовлетворяет условию задачи. В этому случае $\dfrac{3^1-2^1}{2^1-1}=1^2$. Покажем, что больше нет решений в натуральных числах $a$, уравнения $\dfrac{3^a-2^a}{2^a-1}=\dfrac{x^2}{y^2}$, где $x$ и $y$ — взаимно простые натуральные числа. Это уравнение можно переписать в виде: $${3^a}{y^2} + {x^2} = {2^a}({x^2} + {y^2}). \quad (1)$$ В правой части уравнения (1) стоит четное число, поэтому и сумма $3^ay^2+x^2$ в левой части также четна. Поэтому $x$ и $y$ — числа одинаковой четности. В нашем случае они оба нечетные. В противном случае, если оба числа были бы четными, то они не были бы взаимно простыми.
Заметим то, что квадрат нечетного числа дает остаток 1 при делении на 8.
Если $a$ четное число, то есть при $a=2a_1$, уравнение (1) не имеет решения, так как $${3^a}{y^2} + {x^2} = {9^{{a_1}}}{y^2} + {x^2} \equiv 1\cdot 1 + 1 \equiv 2 \pmod 8 ,$$ в то время как ${2^a}({x^2} + {y^2}) = {4^{{a_1}}}({x^2} + {y^2}) \equiv 0 \pmod 8$, в виду того, что $x^2+y^2$ делится на 2. Противоречие.
Если $a \geq 3$ — нечетное число, то есть $a=2a_1+1$, то $${3^a}{y^2} + {x^2} = {9^{{a_1}}} \cdot 3 \cdot {y^2} + {x^2} \equiv 1 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \equiv 4 \pmod 8 ,$$ в то время как ${2^a}({x^2} + {y^2}) \equiv 0 \pmod 8$, противоречие.

$\dfrac{3^a-2^a}{2^a-1}$$=$$\dfrac{x^2}{y^2}$ это будет равно $y^2*(3^a-2^a)$$=$$2^ax^2-x^2$ а то можно приравнить к $2^a*(x^2+y^2)=x^2+y^23^a$ заметим что у $x$ $y$ одинаковая четность, пусть нечетна тогда заметим что если $a\geq{3}$ то решений нету т.к. $2^a*(x^2+y^2)\equiv 0\pmod {8}$ а вот $x^2+y^23^a\equiv 2,4,\pmod {8}$ значит при таких $a$ нету решений разберем $a=2,1$ при $a=2$ решений нету а при $a=1$ $x=1$ $y=1$ а если четные то их изначальную дробь можно сократить так чтобы они были нечетные и тогда опять делаем то что написано сверху и не получится ,но если сократится так что одно из них четна а другое нет то опять решений нет т.к. правое неравенство не будет делиться на два а левое будет