Областная олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Пусть

$x,y,z$ — действительные числа, для которых справедливо неравенство

$x+y+z > \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ . Докажите, что

$x+y+z > \sqrt[3]{x^3+y^3+z^3}$ .
комментарий/решение(6)

Задача №2. Найдите все натуральные числа

$a$ , для которых

$\dfrac{3^a-2^a}{2^a-1}$ является квадратом некоторого рационального числа.
комментарий/решение(3)

Задача №3. На сторонах

$AB$ и

$AC$ треугольника

$ABC$ , в котором

$AB=BC$ , взяты точки

$M$ и

$N$ соответственно так, что описанная около треугольника

$AMN$ окружность касается стороны

$BC$ в точке

$P$ . Пусть

$Q$ — вторая точка пересечения прямой

$MP$ с описанной около треугольника

$CNP$ окружностью. Найдите отношение

$AP/QM$ .
комментарий/решение(2)

Задача №4. Назовём медиану треугольника хорошей, если она равна одной из его сторон. Смогут ли все три медианы треугольника быть хорошими?
комментарий/решение(4)

Задача №5. Докажите, что из любых пяти различных положительных чисел можно выбрать два числа, ни сумма, ни разность которых не равны ни одному из оставшихся чисел.
комментарий/решение(5)

Задача №6. Пусть

$n$ — натуральное число. Через

$P_k(n)$ обозначим произведение всех его делителей, кратных

$k$ (пустое произведение равно 1). Докажите, что произведение

$P_1(n)\cdot P_2(n)\cdot ... \cdot P_n(n)$ является квадратом некоторого натурального числа.
комментарий/решение(1)