Областная олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. Нет, не могут.
Решение. Пусть дан треугольник ABC, а его медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке M. Если медианы AA1 и BB1 равны одной и той же стороне, то AA1=BB1, откуда MA=2AA13=2BB13=MB, то есть AMB равнобедренный треугольник. Следовательно, CC1 — серединный перпендикуляр отрезка AB. Это значит, что AC=BC и треугольники ACC1 и BCC1 прямоугольные. Поэтому CC1=AB, в виду того, что CC1 — хорошая и AC>CC1 (гипотенуза больше катета). В этом случае нетрудно выразить все медианы и стороны треугольника через сторону AB, и убедиться, что медианы AA1 и BB1 не являются хорошими.
Пусть теперь набор всех медиан полностью совпадает с набором всех сторон a=BC,b=AC,c=AB. Из неравенства треугольника имеем:
a/2+b/2=CA1+A1C1>CC1,
c/2+a/2=BC1+C1B1>BB1,
b/2+c/2=AB1+A1B1>AA1.
Сложив все три неравенства, получим a+b+c>AA1+BB1+CC1, что невозможно для совпадающих наборов.
В любом треугольнике Существует самая большая сторона. И эта сторона является самым длинным отрезком в треугольнике. Следовательно никакая медиана не может равняться ей.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.