Областная олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс

Назовём медиану треугольника хорошей, если она равна одной из его сторон. Смогут ли все три медианы треугольника быть хорошими?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет, не могут.
Решение. Пусть дан треугольник $ABC$, а его медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $M$. Если медианы $AA_1$ и $BB_1$ равны одной и той же стороне, то $AA_1=BB_1$, откуда $MA=\dfrac{2AA_1}{3}=\dfrac{2BB_1}{3}=MB$, то есть $AMB$ равнобедренный треугольник. Следовательно, $CC_1$ — серединный перпендикуляр отрезка $AB$. Это значит, что $AC=BC$ и треугольники $ACC_1$ и $BCC_1$ прямоугольные. Поэтому $CC_1=AB$, в виду того, что $CC_1$ — хорошая и $AC > CC_1$ (гипотенуза больше катета). В этом случае нетрудно выразить все медианы и стороны треугольника через сторону $AB$, и убедиться, что медианы $AA_1$ и $BB_1$ не являются хорошими.
Пусть теперь набор всех медиан полностью совпадает с набором всех сторон $a=BC, b=AC, c=AB$. Из неравенства треугольника имеем: \[a/2 + b/2 = C{A_1} + {A_1}{C_1} > C{C_1},\] \[c/2 + a/2 = B{C_1} + {C_1}{B_1} > B{B_1},\] \[b/2 + c/2 = AB_1 + A_1B_1 > AA_1.\] Сложив все три неравенства, получим $a+b+c > AA_1+BB_1+CC_1$, что невозможно для совпадающих наборов.

В любом треугольнике Существует самая большая сторона. И эта сторона является самым длинным отрезком в треугольнике. Следовательно никакая медиана не может равняться ей.

Но ведь в условии сказано "равна одной из сторон", то есть необязательно наибольшей стороне.