Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс


Назовём медиану треугольника хорошей, если она равна одной из его сторон. Смогут ли все три медианы треугольника быть хорошими?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет, не могут.
Решение. Пусть дан треугольник ABC, а его медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке M. Если медианы AA1 и BB1 равны одной и той же стороне, то AA1=BB1, откуда MA=2AA13=2BB13=MB, то есть AMB равнобедренный треугольник. Следовательно, CC1 — серединный перпендикуляр отрезка AB. Это значит, что AC=BC и треугольники ACC1 и BCC1 прямоугольные. Поэтому CC1=AB, в виду того, что CC1 — хорошая и AC>CC1 (гипотенуза больше катета). В этом случае нетрудно выразить все медианы и стороны треугольника через сторону AB, и убедиться, что медианы AA1 и BB1 не являются хорошими.
Пусть теперь набор всех медиан полностью совпадает с набором всех сторон a=BC,b=AC,c=AB. Из неравенства треугольника имеем: a/2+b/2=CA1+A1C1>CC1, c/2+a/2=BC1+C1B1>BB1, b/2+c/2=AB1+A1B1>AA1. Сложив все три неравенства, получим a+b+c>AA1+BB1+CC1, что невозможно для совпадающих наборов.

пред. Правка 2   0
6 года 4 месяца назад #

В любом треугольнике Существует самая большая сторона. И эта сторона является самым длинным отрезком в треугольнике. Следовательно никакая медиана не может равняться ей.

  0
5 года 7 месяца назад #

Но ведь в условии сказано "равна одной из сторон", то есть необязательно наибольшей стороне.

пред. Правка 2   0
1 года 6 месяца назад #