Областная олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. AP/QM=1.
Решение. Отметим точку P1, которая симметрична точке P относительно серединного перпендикуляра отрезка AC. Тогда из симметрии понятно, что P1 лежит стороне AB, AP=CP1 и ∠PCP1=∠PAB.
Из свойства касательной имеем ∠PCP1=∠PAB=∠BPM, то есть PM∥CP1. Известно, что один угол вписанного четырехугольника равен внешнему углу противоположного. Поэтому ∠PQC=∠PNA=∠PMB, то есть P1M∥CQ. Как видим, четырехугольник MQCP1 — параллелограмм. Значит, APQM=APCP1=1.
∠CPN=∠PMN=∠PAN=∠QNC отсюда треугольники QNM и PNC подобны (1)MQPC=MNPN=QNNC
Тк CA2=CN∗CA отсюда треугольники APC и PNC подобны записываем их отношение (2) и делим (1) на (2) и выходит
APMQ=NP2CN∗PN=sinNMP∗sinNCPsinNPC∗sinNPM=1
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.