Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс


На сторонах AB и AC треугольника ABC, в котором AB=BC, взяты точки M и N соответственно так, что описанная около треугольника AMN окружность касается стороны BC в точке P. Пусть Q — вторая точка пересечения прямой MP с описанной около треугольника CNP окружностью. Найдите отношение AP/QM.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. AP/QM=1.
Решение. Отметим точку P1, которая симметрична точке P относительно серединного перпендикуляра отрезка AC. Тогда из симметрии понятно, что P1 лежит стороне AB, AP=CP1 и PCP1=PAB. Из свойства касательной имеем PCP1=PAB=BPM, то есть PMCP1. Известно, что один угол вписанного четырехугольника равен внешнему углу противоположного. Поэтому PQC=PNA=PMB, то есть P1MCQ. Как видим, четырехугольник MQCP1 — параллелограмм. Значит, APQM=APCP1=1.

пред. Правка 4   5
1 года назад #

CPN=PMN=PAN=QNC отсюда треугольники QNM и PNC подобны (1)MQPC=MNPN=QNNC

Тк CA2=CNCA отсюда треугольники APC и PNC подобны записываем их отношение (2) и делим (1) на (2) и выходит

APMQ=NP2CNPN=sinNMPsinNCPsinNPCsinNPM=1