Областная олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, в котором $AB=BC$, взяты точки $M$ и $N$ соответственно так, что описанная около треугольника $AMN$ окружность касается стороны $BC$ в точке $P$. Пусть $Q$ — вторая точка пересечения прямой $MP$ с описанной около треугольника $CNP$ окружностью. Найдите отношение $AP/QM$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $AP/QM=1$.
Решение. Отметим точку $P_1$, которая симметрична точке $P$ относительно серединного перпендикуляра отрезка $AC$. Тогда из симметрии понятно, что $P_1$ лежит стороне $AB$, $AP=CP_1$ и $\angle PCP_1 =\angle PAB$. Из свойства касательной имеем $\angle PCP_1 =\angle PAB=\angle BPM$, то есть $PM \parallel CP_1$. Известно, что один угол вписанного четырехугольника равен внешнему углу противоположного. Поэтому $\angle PQC=\angle PNA=\angle PMB$, то есть $P_1M \parallel CQ$. Как видим, четырехугольник $MQCP_1$ — параллелограмм. Значит, $\dfrac{{AP}}{{QM}} = \dfrac{{AP}}{{CP_1 }} = 1$.

$\angle CPN=\angle PMN=\angle PAN=\angle QNC$ отсюда треугольники QNM и PNC подобны (1)$ \frac{MQ}{PC}=\frac{MN}{PN}=\frac{QN}{NC}$

Тк $CA^2=CN*CA$ отсюда треугольники APC и PNC подобны записываем их отношение (2) и делим (1) на (2) и выходит

$\frac{AP}{MQ}=\frac{NP^2}{CN*PN}=\frac{sin NMP*sin NCP}{sin NPC* sin NPM}=1$