Математикадан облыстық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 9 сынып

$AB$ және $BC$ қабырғалары тең болатын $ABC$ үшбұрышының $AB$ және $AC$ қабырғаларынан сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелері алынған. $AMN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасын $P$ нүктесінде жанайды. $MP$ түзуі $CNP$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет $Q$ нүктесінде қисын. $AP/QM$ қатынасын табыңыз.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $AP/QM=1$.
Решение. Отметим точку $P_1$, которая симметрична точке $P$ относительно серединного перпендикуляра отрезка $AC$. Тогда из симметрии понятно, что $P_1$ лежит стороне $AB$, $AP=CP_1$ и $\angle PCP_1 =\angle PAB$. Из свойства касательной имеем $\angle PCP_1 =\angle PAB=\angle BPM$, то есть $PM \parallel CP_1$. Известно, что один угол вписанного четырехугольника равен внешнему углу противоположного. Поэтому $\angle PQC=\angle PNA=\angle PMB$, то есть $P_1M \parallel CQ$. Как видим, четырехугольник $MQCP_1$ — параллелограмм. Значит, $\dfrac{{AP}}{{QM}} = \dfrac{{AP}}{{CP_1 }} = 1$.

$\angle CPN=\angle PMN=\angle PAN=\angle QNC$ отсюда треугольники QNM и PNC подобны (1)$ \frac{MQ}{PC}=\frac{MN}{PN}=\frac{QN}{NC}$

Тк $CA^2=CN*CA$ отсюда треугольники APC и PNC подобны записываем их отношение (2) и делим (1) на (2) и выходит

$\frac{AP}{MQ}=\frac{NP^2}{CN*PN}=\frac{sin NMP*sin NCP}{sin NPC* sin NPM}=1$