Областная олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс

Докажите, что из любых пяти различных положительных чисел можно выбрать два числа, ни сумма, ни разность которых не равны ни одному из оставшихся чисел.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть даны положительные числа $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$. Рассмотрим пару $(a_1,a_5)$ и их разность $a_5-a_1$. Если эта разность не равна ни одному из чисел $a_2$, $a_3$, $a_4$, то условие задачи выполнено. В противном случае рассмотрим несколько случаев:
1) Если $a_5-a_1=a_2$, то взяв пару $(a_4,a_5)$, получим $a_5-a_4=a_2+a_1-a_4 < a_1$, то есть разность этой пары меньше наименьшего числа. Ясно, что сумма $a_4+a_5$ больше остальных элементов.
2) Если $a_5-a_1=a_3$, то также взяв пару $(a_4,a_5)$, получим $a_5-a_4=a_3+a_1-a_4 < a_1$. Ясно, что сумма $a_4+a_5$ больше остальных элементов.
3) Пусть теперь $a_5-a_1=a_4$. В этом случае получим последовательность $a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5=a_1+a_4$. Рассмотрим пару $(a_3,a_4)$. Так как $a_4-a_3 < a_4$, то необходимо рассмотреть подслучаи $a_4-a_3=a_2$ и $a_4-a_3=a_1$.
3а) Если $a_4-a_3=a_2$, то взяв пару $(a_2,a_5)$, получим $$a_4 > a_5-a_2 > a_3 \quad \Leftrightarrow \quad a_2+a_3 > a_1+a_3 > a_3$$
3в) Если $a_4-a_3=a_1$, то взяв пару $(a_2,a_4)$, получим $$\begin{align*} a_5& < a_4+a_2 \quad \Leftrightarrow \quad 2a_1+a_3 < a_2+a_1+a_3; \\ a_1& < a_4-a_2 < a_3 \quad \Leftrightarrow \quad a_1 < a_1+a_3-a_2 < a_3. \end{align*}$$

Решение. От противного, пусть $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$, тогда $a_5-a_1,a_5-a_2,a_5-a_3,a_5-a_4$ все различные числа из этого же набора, причем идут по убыванию, тогда $a_5-a_1=a_4,a_5-a_2=a_3$.

$a_4+a_3>a_4+a_2>a_4+a_1=a_5=>a_4-a_2,a_4-a_3$ также различные числа из набора $a_1,a_2,a_3$, тогда неизбежно $a_4-a_2=a_3$ и $a_4=a_5$. Противоречие.

8-4=4, 4 не равно 2, 6, 10.

по условию сумму и разность сравнивают с оставшимися числами

Мы можем выбрать 6 и 2, или же 6 и 4, тогда мы получим 4 и 2 соответственно, однако они есть в наборе, оставшихся чисел, что подтверждает задачу.