Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс


Пусть x,y,z — действительные числа, для которых справедливо неравенство x+y+z>x2+y2+z2. Докажите, что x+y+z>3x3+y3+z3.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Покажем, что для неотрицательных чисел a,b,c верно неравенство a2+b2+c23a3+b3+c3. Если возведем обе части неравенства в шестую степень и упростим, то получим эквивалентное неравенство 3(a4b2+b4a2+b4c2+c4b2+c4a2+a4c2)+6a2b2c22a3b3+2b3c3+2c3a3. А это неравенство верно, так как из неравенств Коши a4b2+b4a22a3b3;b4c2+c4b22b3c3;c4a2+a4c22a3c3 уже получается неравенство a4b2+b4a2+b4c2+c4b2+c4a2+a4c22a3b3+2b3c3+2c3a3. Тогда из доказанного выше следует, что x+y+z>x2+y2+z23|x|3+|y|3+|z|33x3+y3+z3.

  -5
6 года 2 месяца назад #

А что если a, b, c - отрицательные? Нам ведь не дано, что x, y, z неотрицательное

пред. Правка 2   -1
10 месяца 26 дней назад #

  1
5 года 4 месяца назад #

Это же очевидно: |х|x

пред. Правка 4   2
4 года 11 месяца назад #

x+y+z>x2+y2+z2x+y+z>0

xy+yz+zx=(x+y+z)2(x2+y2+z2)2>0

(x+y+z)3(x3+y3+z3)>0 теңсіздігін дәлелдесек жеткілікті.

Егер x+y0,y+z0,z+x0 болса, онда

0<2(x+y+z)=(x+y)+(y+z)+(z+x)0

қарама-қайшылыққа келеміз.

Демек, x+y,y+z,z+x сандарының кемінде біреуі оң сан болады.

x+y>0 деп алсақ жалпылыққа әсер етпейді.

(x+y+z)3(x3+y3+z3)=3(x+y)(y+z)(z+x)=

=3(x+y)(z2+(xy+yz+zx))>0

  5
2 года 9 месяца назад #

Из первого неравенства следует что (a+b+c)>0 и возводив в квадрат (ab+bc+ac)>0. Давайте сравним второе неравенство возводив обе стороны в куб, и сотрём a3+b3+c3. Останется доказать что (a+b+c)(ab+bc+ac)>0, что очевидно.