Областная олимпиада по математике, 2015 год, 9 класс

Пусть $x,y,z$ — действительные числа, для которых справедливо неравенство $x+y+z > \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Докажите, что $x+y+z > \sqrt[3]{x^3+y^3+z^3}$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Покажем, что для неотрицательных чисел $a,b,c$ верно неравенство $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\geq \sqrt[3]{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}$. Если возведем обе части неравенства в шестую степень и упростим, то получим эквивалентное неравенство $$3({{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{a}^{2}}+{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{b}^{2}}+{{c}^{4}}{{a}^{2}}+{{a}^{4}}{{c}^{2}})+6{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\geq 2{{a}^{3}}{{b}^{3}}+2{{b}^{3}}{{c}^{3}}+2{{c}^{3}}{{a}^{3}}.$$ А это неравенство верно, так как из неравенств Коши \[{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{a}^{2}}\geq 2{{a}^{3}}{{b}^{3}}; \quad {{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{b}^{2}}\geq 2{{b}^{3}}{{c}^{3}}; \quad {{c}^{4}}{{a}^{2}}+{{a}^{4}}{{c}^{2}}\geq 2{{a}^{3}}{{c}^{3}}\] уже получается неравенство $${a^4}{b^2} + {b^4}{a^2} + {b^4}{c^2} + {c^4}{b^2} + {c^4}{a^2} + {a^4}{c^2} \geq 2{a^3}{b^3} + 2{b^3}{c^3} + 2{c^3}{a^3}.$$ Тогда из доказанного выше следует, что $$x + y + z > \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \geq \sqrt[3]{{|x{|^3} + |y{|^3} + |z{|^3}}} \geq \sqrt[3]{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}.$$

А что если a, b, c - отрицательные? Нам ведь не дано, что x, y, z неотрицательное

Это же очевидно: $|$х$| \geq x$

$x+y+z>\sqrt{x^2+y^2+z^2}\Rightarrow x+y+z>0$

$xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^2 -( x^2+y^2+z^2)}{2}>0$

$(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)>0$ теңсіздігін дәлелдесек жеткілікті.

Егер $x+y\le 0, y+z\le 0, z+x\le 0$ болса, онда

$0<2(x+y+z)=(x+y)+(y+z)+(z+x)\le 0$

қарама-қайшылыққа келеміз.

Демек, $x+y, y+z, z+x$ сандарының кемінде біреуі оң сан болады.

$x+y> 0$ деп алсақ жалпылыққа әсер етпейді.

$(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)=3(x+y)(y+z)(z+x)=$

$=3(x+y)(z^2+(xy+yz+zx))>0$

Из первого неравенства следует что $(a+b+c)>0$ и возводив в квадрат $(ab+bc+ac)>0$. Давайте сравним второе неравенство возводив обе стороны в куб, и сотрём $a^3+b^3+c^3$. Останется доказать что $(a+b+c)(ab+bc+ac)>0$, что очевидно.