Математикадан облыстық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. a=1.
Решение. Нечетное число a=1 удовлетворяет условию задачи. В этому случае 31−2121−1=12. Покажем, что больше нет решений в натуральных числах a, уравнения 3a−2a2a−1=x2y2, где x и y — взаимно простые натуральные числа. Это уравнение можно переписать в виде:
3ay2+x2=2a(x2+y2).(1)
В правой части уравнения (1) стоит четное число, поэтому и сумма 3ay2+x2 в левой части также четна. Поэтому x и y — числа одинаковой четности. В нашем случае они оба нечетные. В противном случае, если оба числа были бы четными, то они не были бы взаимно простыми.
Заметим то, что квадрат нечетного числа дает остаток 1 при делении на 8.
Если a четное число, то есть при a=2a1, уравнение (1) не имеет решения, так как
{3^a}{y^2} + {x^2} = {9^{{a_1}}}{y^2} + {x^2} \equiv 1\cdot 1 + 1 \equiv 2 \pmod 8 ,
в то время как {2^a}({x^2} + {y^2}) = {4^{{a_1}}}({x^2} + {y^2}) \equiv 0 \pmod 8, в виду того, что x^2+y^2 делится на 2. Противоречие.
Если a \geq 3 — нечетное число, то есть a=2a_1+1, то
{3^a}{y^2} + {x^2} = {9^{{a_1}}} \cdot 3 \cdot {y^2} + {x^2} \equiv 1 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \equiv 4 \pmod 8 ,
в то время как {2^a}({x^2} + {y^2}) \equiv 0 \pmod 8, противоречие.
\dfrac{3^a-2^a}{2^a-1}=\dfrac{x^2}{y^2} это будет равно y^2*(3^a-2^a)=2^ax^2-x^2 а то можно приравнить к 2^a*(x^2+y^2)=x^2+y^23^a заметим что у x y одинаковая четность, пусть нечетна тогда заметим что если a\geq{3} то решений нету т.к. 2^a*(x^2+y^2)\equiv 0\pmod {8} а вот x^2+y^23^a\equiv 2,4,\pmod {8} значит при таких a нету решений разберем a=2,1 при a=2 решений нету а при a=1 x=1 y=1 а если четные то их изначальную дробь можно сократить так чтобы они были нечетные и тогда опять делаем то что написано сверху и не получится ,но если сократится так что одно из них четна а другое нет то опять решений нет т.к. правое неравенство не будет делиться на два а левое будет
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.