4-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2008 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Дөнес

$ABCD$ төртбұрышының

$AB$ ,

$BC$ ,

$CD$ ,

$DA$ қабырғаларының орталарын сәйкесінше

$K$ ,

$L$ ,

$M$ ,

$N$ деп белгіленген.

$KM$ түзуі

$AC$ және

$BD$ диагоналдарын сәйкесінше

$P$ және

$Q$ нүктелерінде, ал

$LN$ түзуі

$AC$ және

$BD$ диагоналдарын сәйкесінше

$R$ және

$S$ нүктелерінде қияды. Егер

$AP \cdot PC = BQ \cdot QD$ болса, онда

$AR \cdot RC = BS \cdot SD$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Коэффициенттері бүтін

$P(x)$ көпмүшелігін коэффициенттері бүтін (айнымалысы

$x$ болатын) бірнеше көпмүшелікгердің кубтарының қосындысы ретінде өрнектеуге болатын болса, онда оны жақсы дейміз. Мысалы,

$x^3 - 1$ және

$9x^3 - 3x^2 + 3x +7 = (x-1)^3 + (2x)^3+2^3$ жақсы көпмүшеліктер болады.
a)

$P(x) = 3x + 3x^7$ көпмүшелігі жақсы ма?
b)

$P(x) = 3x + 3x^7 + 3x^{2008}$ көпмүшелігі жақсы ма?
Жауаптарыңызды тиянақтаңыздар.
комментарий/решение

Есеп №3.

$A = \{(a_1, \ldots, a_8) | \mbox{ әрбір } 1 \le i \le 8 \mbox{ үшін } a_i - \mbox{ бүтін және } 1\le a_i \le i +1\}$ тізбектер жиынын қарастырайық. Егер оның

$X$ ішкі жиынының кез келген әртүрлі екі

$(a_1, \ldots, a_8)$ ,

$(b_1, \ldots, b_8)$ элементтері үшін

$a_i \ne b_i$ , болатындай кемінде үш

$i$ индексі табылса, онда

$X$ ішкі жиыныны сиретілген деп аталады.

$A$ жиынының сиретілген ішкі жиынында ең көп дегенде қанша элемент болуы мүмкін?
комментарий/решение

Есеп №4. Әрбір натурал

$n$ саны үшін

$S(n)$ арқылы осы санның ондық жүйедегі жазылымындағы цифрлардың қосындысын белгілейік.

$n = 2S(n)^3 + 8$ теңдігін қанағаттандыратын барлық

$n$ натурал сандарын тап.
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Центрлері сәйкесінше

$O_1$ және

$O_2$ болатын, өзара қиылыспайтын

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлері

$l$ түзуін сәйкесінше

$A_1$ және

$A_2$ нүктелерінде жанайды (шеңберлер

$l$ түзуінің бір жағында жатыр).

$A_1A_2$ кесіндісінің ортасын

$K$ деп белгілейік.

$KB_1$ және

$KB_2$ түзулері

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлерін сәйкесінше

$B_1$ және

$B_2$ нүктелерінде жанайтындай етіп

$\omega_1$ және

$\omega_2$ шеңберлерінен сәйкесінше

$B_1$ және

$B_2$ нүктелері алынған (

$B_1$ нүктесі

$A_1$ нүктесінен өзге, ал

$B_2$ нүктесі

$A_2$ нүктесінен өзге).

$A_1B_1$ және

$A_2B_2$ түзулері

$L$ нүктесінде, ал

$KL$ және

$O_1O_2$ түзулері

$P$ нүктесінде қиылысады.

$B_1$ ,

$B_2$ ,

$P$ және

$L$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Егер оң нақты

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары

$abc =1$ теңдігін қанағаттандыратын болса,

$\dfrac{1}{(a+b)b}+\dfrac{1}{(b+c)c}+\dfrac{1}{(c+a)a}\ge \dfrac{3}{2}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелде.
комментарий/решение(7)

результаты