Processing math: 16%

4-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2008 год


Для всякого натурального n обозначим через S(n) сумму цифр в десятичной записи числа n. Найдите все натуральные n такие, что n=2S(n)3+8.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. n=10, 2008, 13726. \par
Решение. Мы знаем, что n\equiv S(n) \pmod 9, поэтому, если n = 2{S}(n)^3 + 8, то 9 делит нацело число 2n^3 -n-1=(n-1)(2n^2 +2n+1). Отсюда, так как 2n^2 +2n+1=\frac{1}{2} \left((2n+1)^2 +1\right) не делится на 3, получаем {9|n-1} или n\equiv S(n)\equiv 1 \pmod 9. Пусть S(n)=9k+1.
Пусть l — количество цифр числа n в десятичной записи. Тогда 10^{l-1} \le n=2S(n)^3 +8\le 2(9l)^3 +8 \le 1500l^3 или 10^{l-3} \le 15l^3 . Индукцией по l легко доказать, что 15l^3 < 10^{l-3} при l\ge 7. Значит l\le 6 и S(n)\le 9l\le 54, следовательно, k\le 5. При k=0, 1, 2 получаем три решения n=10, 2008, 13726 нашего уравнения.
Если k=3, то n = 2{S}(n)^3 + 8 = 43912, но S(43912)=19\ne 28={9\cdot 3+1}.
Если k=4, то n= 2{S}(n)^3 + 8 = 101314, но S(101314)=10\ne 37={9\cdot 4+1}.
Если k=5, то n = 2{S}(n)^3 + 8 = 194680, но S(194680)=28\ne 46={9\cdot 5+1}.
Значит, значениями n=10, 2008, 13726 исчерпываются все решения уравнения.

  1
3 года 10 месяца назад #

Ответ:10,2008,13726

Заметим что S(n) \equiv n \pmod 9, это означает что 2n^3-n+8 делится на 9. С помощью перебора можно найти что n-1 делится на 9, и обозначим S(n)=9k+1(k неотрицательное целое число). Докажем что при k>4 решений нет. Это легко потому что n \geq 19...9 =2*10^k-1>2*(9k+1)^3+8(последние неравенство доказывается с помощью индукции). Теперь с перебором при k \leq 4 находим числа в ответе.

  1
3 года 1 месяца назад #

жиза, каждый день так делаю пока не найду 2008 и 13726