4-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2008 год

Для всякого натурального $n$ обозначим через $S(n)$ сумму цифр в десятичной записи числа $n$. Найдите все натуральные $n$ такие, что $n=2S(n)^3+8$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $n=10$, $2008$, $13726$. \par
Решение. Мы знаем, что $n\equiv S(n) \pmod 9$, поэтому, если $n = 2{S}(n)^3 + 8$, то 9 делит нацело число $2n^3 -n-1=(n-1)(2n^2 +2n+1)$. Отсюда, так как $2n^2 +2n+1=\frac{1}{2} \left((2n+1)^2 +1\right)$ не делится на 3, получаем ${9|n-1}$ или $n\equiv S(n)\equiv 1 \pmod 9$. Пусть $S(n)=9k+1$.
Пусть $l$ — количество цифр числа $n$ в десятичной записи. Тогда $10^{l-1} \le n=2S(n)^3 +8\le 2(9l)^3 +8 \le 1500l^3 $ или $10^{l-3} \le 15l^3 $. Индукцией по $l$ легко доказать, что $15l^3 < 10^{l-3} $ при $l\ge 7$. Значит $l\le 6$ и $S(n)\le 9l\le 54$, следовательно, $k\le 5$. При $k=0, 1, 2$ получаем три решения $n=10,$ $2008,$ $13726$ нашего уравнения.
Если $k=3$, то $n = 2{S}(n)^3 + 8 = 43912$, но $S(43912)=19\ne 28={9\cdot 3+1}$.
Если $k=4$, то $n= 2{S}(n)^3 + 8 = 101314$, но $S(101314)=10\ne 37={9\cdot 4+1}$.
Если $k=5$, то $n = 2{S}(n)^3 + 8 = 194680$, но $S(194680)=28\ne 46={9\cdot 5+1}$.
Значит, значениями $n=10,$ $2008,$ $13726$ исчерпываются все решения уравнения.

$Ответ:10,2008,13726$

Заметим что $S(n) \equiv n \pmod 9$, это означает что $2n^3-n+8$ делится на 9. С помощью перебора можно найти что $n-1$ делится на 9, и обозначим $S(n)=9k+1$($k$ неотрицательное целое число). Докажем что при $k>4$ решений нет. Это легко потому что $n \geq 19...9 =2*10^k-1>2*(9k+1)^3+8$(последние неравенство доказывается с помощью индукции). Теперь с перебором при $k \leq 4$ находим числа в ответе.

жиза, каждый день так делаю пока не найду 2008 и 13726