4-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2008 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1.  Точки $K$, $L$, $M$, $N$ — соответственно середины сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ выпуклого четырехугольника $ABCD$. Прямая $KM$ пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Прямая $LN$ пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $R$ и $S$ соответственно.
Докажите, что если $AP\cdot PC=BQ\cdot QD$, то $AR\cdot RC=BS\cdot SD$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Назовем многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами хорошим , если его можно представить в виде суммы кубов нескольких многочленов (от переменной $x$) с целыми коэффициентами. Например, многочлены $x^3-1$ и $9x^3-3x^2+3x+7=(x-1)^3+(2x)^3+2^3$ являются хорошими.
a) Является ли многочлен $P(x)=3x+3x^7$ хорошим?
b) Является ли многочлен $P(x)=3x+3x^7+3x^{2008}$ хорошим?
Обоснуйте ваши ответы.
комментарий/решение

---

Задача №3.  Положим $A=\{(a_1, \dots, a_8) | a_i\in \Bbb N , 1\leq a_i\leq i+1\}\hbox{ для всех }i=1, \dots, 8\}$. Назовем подмножество $X\subset A$ разреженным , если для любых двух различных элементов $(a_1, \dots, a_8), (b_1, \dots, b_8)\in X$ существуют хотя бы три индекса $i$ таких, что $a_i\ne b_i$. Найдите наибольшее возможное количество элементов в разреженном подмножестве множества $A$.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Для всякого натурального $n$ обозначим через $S(n)$ сумму цифр в десятичной записи числа $n$. Найдите все натуральные $n$ такие, что $n=2S(n)^3+8$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №5.  Непересекающиеся окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются прямой $\ell$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно (окружности лежат по одну сторону от $\ell$). Точка $K$ — середина отрезка $A_1A_2$. На окружностях $\omega_1$ и $\omega_2$ выбраны точки $B_1$ и $B_2$ соответственно так, что прямые $KB_1$ и $KB_2$ касаются $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно (точка $B_1$ отлична от $A_1$, а точка $B_2$ отлична от $A_2$). Прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекаются в точке $L$, а прямые $KL$ и $O_1O_2$ — в точке $P$. Докажите, что точки $B_1$, $B_2$, $P$ и $L$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Докажите, что для любых положительных действительных чисел $a$, $b$, $c$ таких, что $abc=1$, выполнено неравенство $$\frac{1}{{(a + b)b}} + \frac{1}{{(b + c)c}} + \frac{1}{{(c + a)a}} \geq \frac{3}{2}.$$
комментарий/решение(7)

---