4-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2008 год
Комментарий/решение:
Докажем, что $L$ лежит на радикальной оси $\omega_1$ и $\omega_2$. Так как $B_1K=A_1K=A_2K=B_2K$, то точки $A_1, A_2, B_1, B_2$ лежат на окружности с центром $K$ и радиусом $A_1K$, скажем $\Omega$. Заметим, что $L$ радикальный центр $\omega_1, \omega_2, \Omega$. Получаем, что $KL$ - радикальная ось окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Откуда следует, что $O_1O_2 \bot KL$. Пусть $KO_1\cap A_1B_1=X$, $A_2B_2\cap KO_2=Y$. Легко получить, что $XL\bot KO_1$, откуда можно получить, что $X, O_1, P, L$ лежат на одной окружности. Аналогично $P, O_2, Y, L$ лежат на одной окружности. Тогда $KP\cdot KL=KX\cdot KO_1={KB_1}^2={KA_1}^2\Leftrightarrow \frac{KP}{KB_1}=\frac{KB_1}{KL}$. Значит треугольник $KPB_1$ подобен $KB_1L$. Откуда следует, что $\angle KB_1P=\angle KLB_1$, аналогично $\angle KB_2P=\angle KLB_2$, посчитав уголки можно убедится в том, что $\angle B_1KB_2=180-2\cdot B_1LB_2=180-2\cdot(\angle B_1KL+\angle B_2KL)$, тогда $\angle B_1PB_2=180-\angle B_1LB_2$. Значит $\angle B_1PB_2+\angle B_1LB_2=180$, что и требовалось.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.